Знання відстані від точки до площини або до прямої дозволяє обчислити об’єм та площу поверхні фігур у просторі. Розрахунок цієї відстані в геометрії здійснюється з використанням відповідних рівнянь для зазначених геометричних об’єктів. У статті покажемо, з допомогою яких формул можна його визначити.
Рівняння прямої та площини
Перед тим як наводити формули для визначення відстані від точки до площини і до прямої, покажемо, якими рівняннями описуються ці об’єкти.
Для визначення точки використовується набір координат в даній системі координатних осей. Тут будемо розглядати тільки декартову прямокутну систему, в якій осі мають однакові одиничні вектори і є взаємно перпендикулярними. На площині довільна точка описується двома координатами, в просторі – трьома.
Для визначення прямої використовують різні типи рівнянь. У відповідності з темою статті, наведемо лише два з них, які застосовуються в двовимірному просторі для постановки прямих.
Векторне рівняння. Воно має наступну форму запису:
(x; y) = (x0; y0 ) + λ*(a; b).
Перший член тут представляє координати відомої точки, що лежить на прямій. Другий член – це координати направляючого вектора, помножені на довільне число λ.
Рівняння загального виду. Його форма запису така:
A*x + B*y + C = 0;
де A, B, C – деякі коефіцієнти.
Загальне рівняння частіше використовується для визначення прямих на площині, однак для знаходження відстані від точки до прямої на площині зручніше працювати з векторним виразом.
Площини в тривимірному просторі теж можна записати кількома математичними способами. Тим не менш найчастіше зустрічається в задачах рівняння загального виду, яке записується так:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Перевагою цієї форми запису по відношенню до інших є те, що вона в явному вигляді містить координати вектора, перпендикулярного площині. Цей вектор називається направляючим для неї, він збігається з напрямком нормалі, а його координати дорівнюють (A; B; C).
Зауважимо, що наведене вираз збігається з формою запису рівняння загального вигляду для прямої в двовимірному просторі, тому при вирішенні завдань варто бути уважним і не плутати ці геометричні об’єкти.
Дистанція між точкою та прямою
Покажемо, як можна обчислити відстань між прямою і точкою в двовимірному просторі.
Нехай є деяка точка Q(x1; y1) і пряма, задана виразом:
(x; y) = (x0; y0 ) + λ*(a; b).
Під дистанцією між прямою і точкою розуміють довжину перпендикулярного цієї прямої відрізка, опущеного на неї з точки Q.
Перед тим як обчислювати відстань, слід підставити координати Q в цю рівність. Якщо вони йому будуть задовольняти, значить Q належить даній прямій, і відповідне відстань дорівнює нулю. Якщо ж координати точки не призводять до дотримання рівності, тоді відстань між геометричними об’єктами відмінно від нуля. Його можна розрахувати за формулою:
d = |[PQ*u]|/|u|.
Тут P – довільна точка прямої, яка є початком вектора PQ. Вектор u – це направляючий відрізок для прямої, тобто його координати дорівнюють (a; b).
Використання цієї формули передбачає вміння обчислювати векторний добуток, що стоїть в чисельнику.
Завдання з точкою і прямою
Припустимо, необхідно знайти дистанцію між Q(-3; 1) і прямій, задовольняє рівнянню:
y = 5*x -2.
Підставивши координати Q вираз, можна переконатися, що Q не лежить на прямій. Застосувати наведену в пункті вище формулу для d можна, якщо подати дане рівняння у векторному вигляді. Зробимо це наступним чином:
(x; y) = (x; 5*x -2) =>
(x; y) = (x; 5*x) + (0; -2) =>
(x; y) = x*(1; 5) + (0; -2) =>
(x; y) = (0; -2) + λ*(1; 5).
Тепер візьмемо будь-яку точку цієї прямої, наприклад (0; -2), і побудуємо вектор з початком і кінцем в Q:
(-3; 1) – (0; -2) = (-3; 3).
Тепер застосовуємо формулу для визначення відстані, отримуємо:
d = |[(-3; 3)*(1; 5)]|/|(1; 5)| = 18/√26 ≈ 3,53.
Відстань від точки до площини
Як і у випадку з прямою, під дистанцією між площиною і точкою в просторі розуміють довжину відрізка, який з даної точки перпендикулярно опущений на площину перетинає її.
У просторі точка задається трьома координатами. Якщо вони рівні (x1; y1; z1), тоді відстань між площиною і цією точкою можна обчислити за формулою:
d = |A*x1 + B*y1 + C*z1 + D|/√(A2+B2+C2).
Зазначимо, що використання формули дає змогу знайти відстань від площини до прямої. Щоб знайти координати точки, в якій перпендикулярний відрізок перетинає площину, необхідно скласти рівняння прямої, якій цей відрізок належить, а потім знайти загальну точку для цієї прямої і заданій площині.
Завдання з площиною і точкою
Знайдіть відстань від точки до площини, якщо відомо, що точка має координати (3; -1; 2), а площина задана виразом:
-y + 3*z = 0.
Щоб скористатися відповідною формулою, випишемо спочатку коефіцієнти для заданої площині. Оскільки змінна x і вільний член відсутні, то коефіцієнти A і D дорівнюють нулю. Маємо:
A = 0; B = -1; C = 3; D = 0.
Легко показати, що ця площина проходить через початок координат, вісь x їй належить.
Підставляємо координати точки і коефіцієнти площині у формулу для дистанції d, отримуємо:
d = |0*3 + (-1)*(-1) + 2*3 + 0|/√(1 +9 ) = 7/√10 ≈ 2,21.
Зауважимо, що якщо змінити координату x точки, то відстань d не зміниться. Цей факт означає, що сукупність точок (x; -1; 2) утворює пряму, паралельну до заданої площини.
