Завдання з точкою і прямою
Припустимо, необхідно знайти дистанцію між Q(-3; 1) і прямій, задовольняє рівнянню:
y = 5*x -2.
Підставивши координати Q вираз, можна переконатися, що Q не лежить на прямій. Застосувати наведену в пункті вище формулу для d можна, якщо подати дане рівняння у векторному вигляді. Зробимо це наступним чином:
(x; y) = (x; 5*x -2) =>
(x; y) = (x; 5*x) + (0; -2) =>
(x; y) = x*(1; 5) + (0; -2) =>
(x; y) = (0; -2) + λ*(1; 5).
Тепер візьмемо будь-яку точку цієї прямої, наприклад (0; -2), і побудуємо вектор з початком і кінцем в Q:
(-3; 1) – (0; -2) = (-3; 3).
Тепер застосовуємо формулу для визначення відстані, отримуємо:
d = |[(-3; 3)*(1; 5)]|/|(1; 5)| = 18/√26 ≈ 3,53.
Відстань від точки до площини
Як і у випадку з прямою, під дистанцією між площиною і точкою в просторі розуміють довжину відрізка, який з даної точки перпендикулярно опущений на площину перетинає її.
У просторі точка задається трьома координатами. Якщо вони рівні (x1; y1; z1), тоді відстань між площиною і цією точкою можна обчислити за формулою:
d = |A*x1 + B*y1 + C*z1 + D|/√(A2+B2+C2).
Зазначимо, що використання формули дає змогу знайти відстань від площини до прямої. Щоб знайти координати точки, в якій перпендикулярний відрізок перетинає площину, необхідно скласти рівняння прямої, якій цей відрізок належить, а потім знайти загальну точку для цієї прямої і заданій площині.
