Об’ємною фігурою, яка часто з’являється в геометричних задачах, є піраміда. Найпростіша з усіх фігур цього класу – трикутна. У цій статті розберемо докладно основні формули і властивості правильної трикутної піраміди.
Геометричні уявлення про фігуру
Перш ніж переходити до розгляду властивостей правильної трикутної піраміди, розберемося детальніше, про яку фігуру йде мова.
Припустимо, що є довільний трикутник у тривимірному просторі. Виберемо у цьому просторі будь-яку точку, яка в площині трикутника не лежить, і з’єднаємо її з трьома вершинами трикутника. Ми отримали трикутну піраміду.
Вона складається з 4-х сторін, причому всі вони є трикутниками. Точки, в яких з’єднуються три грані, називаються вершинами. Їх фігури також чотири. Лінії перетину двох граней – це ребра. Ребер у розглянутій піраміди 6. Малюнок нижче демонструє приклад цієї фігури.
Оскільки фігура утворена чотирма сторонами, її також називають тетраедром.
Правильна піраміда
Вище була розглянута довільна фігура з трикутною основою. Тепер припустимо, що ми провели перпендикулярний відрізок з вершини піраміди до її основи. Цей відрізок називається висотою. Очевидно, що можна провести 4 різні висоти для фігури. Якщо висота перетинає в геометричному центрі трикутне підстава, то така піраміда називається прямою.
Пряма піраміда, основою якої буде трикутник рівносторонній, називається правильною. Для неї всі три трикутника, що утворюють бічну поверхню фігури, є равнобедренными і дорівнюють один одному. Приватним випадком правильної піраміди є ситуація, коли всі чотири сторони є рівносторонніми однаковими трикутниками.
Розглянемо властивості правильної трикутної піраміди і приведемо відповідні формули для обчислення її параметрів.
Сторона підстави, висота, бічне ребро і апотема
Будь-які два з перерахованих параметрів однозначно визначають інші дві характеристики. Наведемо формули, які пов’язують названі величини.
Припустимо, що сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює a. Довжина її бічного ребра дорівнює b. Чому будуть дорівнювати висота правильної трикутної піраміди і її апотема.
Для висоти h отримуємо вираз:
h = √(b2 – a2/3)
Ця формула випливає з теореми Піфагора для прямокутного трикутника, сторонами якого є бічне ребро, висота і 2/3 висоти підстави.
Апотемой піраміди називається висота для будь-якого бічного трикутника. Довжина апотемы ab дорівнює:
ab = √(b2 – a2/4)
З цих формул видно, що якими б не були сторона основи піраміди правильної трикутної і довжина її бічного ребра, апотема завжди буде більше висоти піраміди.
Представлені дві формули містять всі чотири лінійні характеристики даної фігури. Тому по відомим двом з них можна знайти інші, вирішуючи систему з записаних рівностей.
Обсяг фігури
Для абсолютно будь піраміди (у тому числі похилій) значення обсягу простору, обмеженого нею, можна визначити, знаючи висоту фігури і площа її підстави. Відповідна формула має вигляд:
V = 1/3*So*h
Застосовуючи цей вираз для даної фігури, отримаємо наступну формулу:
V3 = √3/12*a2*h
Де висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, а її сторона основи – a.
Не складно отримати формулу для об’єму тетраедра, у якого всі сторони рівні між собою і представляють рівносторонні трикутники. У такому разі обсяг фігури визначиться за формулою:
V = √2/12*a3
Тобто він визначається довжиною сторони a однозначно.
Площа поверхні
Продовжимо розглядати властивості піраміди правильної трикутної. Загальна площа всіх граней фігури називається площею її поверхні. Останню зручно вивчати, розглядаючи відповідну розгортку. На малюнку нижче показано, як виглядає розгортка правильної трикутної піраміди.
Припустимо, що нам відомі висота h і сторона підстави a фігури. Тоді площа її підстави дорівнює:
So = √3/4*a2
Отримати це вираз може кожен школяр, якщо згадає, як знаходити площу трикутника, а також врахує, що висота рівностороннього трикутника також є бісектрисою і медіаною.
Площа бічної поверхні, утвореної трьома однаковими равнобедренными трикутниками, становить:
Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a
Ця рівність випливає з виразу апотемы піраміди через висоту і довжину підстави.
Повна площа поверхні фігури дорівнює:
S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a
Зауважимо, що для тетраедра, у якого всі чотири сторони є однаковими рівносторонніми трикутниками, площа S буде дорівнювати:
S = √3*a2
Властивості правильної зрізаної піраміди трикутної
Якщо у розглянутій трикутної піраміди площиною, паралельною до основи, зрізати верх, то залишилася нижня частина буде називатися усіченої піраміди.
У разі правильної піраміди з трикутним підставою в результаті описаного методу перерізу виходить новий трикутник, який також є рівностороннім, але має меншу довжину сторони, ніж сторона підстави. Усічена трикутна піраміда показана нижче.
Ми бачимо, що ця фігура вже обмежена двома трикутними підставами і трьома равнобедренными трапеціями.
Припустимо, що висота отриманої фігури дорівнює h, довжини сторін нижнього і верхнього підстав становлять a1 і a2 відповідно, а апотема (висота трапеції дорівнює ab. Тоді площа поверхні зрізаної піраміди можна обчислити за формулою:
S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)
Тут перший доданок – це площа бічної поверхні, другий доданок – площа трикутних підстав.
Обсяг фігури розраховується наступним чином:
V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)
Для однозначного визначення характеристик усіченої піраміди необхідно знати три її параметра, що демонструють наведені формули.
