Кінематика – це частина фізики, яка розглядає закони руху тел. Її відмінність від динаміки полягає в тому, що вона не розглядає діючі пересувається на тіло сили. Дана стаття присвячена питанню про кінематику обертального руху.
Обертальний рух і його відмінність від поступального
Якщо звернути увагу на навколишні пересуваються предмети, то можна помітити, що вони переміщуються по прямій лінії (автомобіль їде по дорозі, літак летить по небу), або по колу (той же автомобіль, що входить в поворот, обертання колеса). Більш складні види руху об’єктів можна звести в першому наближенні до комбінації зазначених двох типів.
Поступальне переміщення передбачає зміну просторових координат тіла. При цьому воно часто розглядається як матеріальна точка (геометричні розміри не приймаються до уваги).
Обертальний рух – це такий тип переміщення, при якому система рухається по колу навколо деякої осі. Причому предмет у цьому випадку рідко розглядається як матеріальна точка, найчастіше використовують інше наближення – абсолютно тверде тіло. Останнє означає, що силами пружності, що діють між атомами тіла, нехтують і вважають, що при обертанні геометричні розміри системи не змінюються. Найбільш простим випадком є нерухома вісь.
Кінематика поступального та обертального руху підпорядковується одним і тим же законам Ньютона. Для опису обох видів переміщення використовують подібні фізичні величини.
Які величини описують рух у фізиці?
Кінематика обертального і поступального руху використовує три основні величини:
- Пройдений шлях. Будемо його позначати буквою L для поступального і θ – для обертального руху.
- Швидкість. Для лінійного випадку її зазвичай прописують латинською буквою v, для руху по круговій траєкторії – грецькою буквою ω.
- Прискорення. Для лінійної і кругової траєкторії використовують символи a і α, відповідно.
Також часто використовують поняття траєкторії. Але для розглянутих типів переміщення об’єктів це поняття стає тривіальним, оскільки поступальний рух характеризується лінійною траєкторією, а обертальний – колом.
Лінійна і кутова швидкості
Кінематику обертального руху матеріальної точки почнемо розглядати з поняття швидкості. Відомо, що для поступального переміщення тіл ця величина описує, який шлях буде подолано за одиницю часу, тобто:
v = L / t
Величина v вимірюється в метрах за секунду. Для обертання незручно розглядати цю лінійну швидкість, оскільки вона залежить від відстані до осі обертання. Вводять дещо іншу характеристику:
ω = θ / t
Ця одна з головних формул кінематики обертального руху. Вона показує, на який кут θ повернеться вся система навколо нерухомої осі за час t.
Обидві наведені формули відображають один і той же фізичний процес швидкості переміщення. Тільки для лінійного випадку важливе значення має відстань, а для кругового – кут повороту.
Обидві формули взаємодіють один з одним. Отримаємо цей зв’язок. Якщо висловлювати θ в радіанах, тоді матеріальна точка, що обертається на відстані R від осі, зробивши один оборот, пройде шлях L = 2 * pi * R. Вираз для лінійної швидкості прийме вигляд:
v = L / t = 2 * pi * R / t
Але ж відношення 2 * pi радіан до часу t – це не що інше, як кутова швидкість. Тоді отримуємо:
v = ω * R
Звідси видно, що чим більше лінійна швидкість v і менший радіус обертання R, тим більше кутова швидкість ω.
Лінійне і кутове прискорення
Іншою важливою характеристикою в кінематиці обертального руху матеріальної точки є кутове прискорення. Перед тим, як познайомитися з них, приведемо формулу для аналогічної лінійної величини:
1) a = dv / dt
2) a = Δv / Δt
Перший вираз відображає миттєве прискорення (dt> 0), другу ж формулу доречно застосовувати, якщо швидкість змінюється рівномірно за час Δt. Отримане у другому варіанті прискорення називають середнім.
Враховуючи подібність величин, які описують лінійну і обертальний рух, для кутового прискорення можна записати:
1) α = dω / dt
2) α = Δω / Δt
Інтерпретація цих формул точно така ж, як і для лінійного випадку. Єдина відмінність полягає в тому, що a показує, на скільки метрів в секунду змінюється швидкість за одиницю часу, а α – на скільки радіан на секунду змінюється кутова швидкість за той же період часу.
Знайдемо зв’язок між цими прискореннями. Підставивши значення для v, вираженої через ω, в будь-який з двох рівностей для α, отримаємо:
α = Δω / Δt = Δv / Δt*1 / R = a / R
Звідси випливає, що чим менше радіус обертання і більше лінійне прискорення, тим більше буде величина α.
Пройдений шлях і кут повороту
Залишилося привести формули для останньою з трьох основних величин в кінематиці обертального руху навколо нерухомої осі – для кута повороту. Як і в попередніх пунктах, спочатку запишемо формулу для рівномірно прискореного прямолінійного переміщення, маємо:
L = v0 * t + a * t2 / 2
Повна аналогія з обертальним рухом призводить до наступної формули для нього:
θ = ω0 * t + α * t2 / 2
Останній вираз дозволяє отримати кут повороту за будь-який час t. Зауважимо, що окружність становить 2 * pi радіан (≈ 6,3 радиана). Якщо в результаті вирішення задачі виходить значення θ більше, ніж зазначена величина, отже, тіло вчинила більше одного оберту навколо осі.
Формулу зв’язку L і θ отримаємо, підставляючи відповідні значення ω0 і α через лінійні характеристики:
θ = v0 * t / R + a * t2 / (2 * R) = L /R
Отриманий вираз відображає зміст самого кута θ в радіанах. Якщо θ = 1 радий, тоді L = R, тобто кут в один радіан спирається на дугу довжиною в один радіус.
Приклад розв’язання задачі
Вирішимо таку проблему кінематики обертального руху: відомо, що машина рухається зі швидкістю 70 км/год. Знаючи, що діаметр колеса дорівнює D = 0,4 метра, необхідно визначити величину ω для нього, а також кількість оборотів, які воно зробить, коли автомобіль проїде шлях в 1 кілометр.
Щоб знайти кутову швидкість, достатньо підставити відомі дані у формулу зв’язку її зі швидкістю лінійної, отримуємо:
ω = v / R = 7 * 104 / 3600 / 0,2 = 97,222 рад/с.
Аналогічно для кута θ, на який повернеться колесо, пройшовши 1 км, отримуємо:
θ = L / R = 1000 / 0,2 = 5000 радий.
Враховуючи, що один оборот становить 6,2832 радиана, отримуємо число обертів колеса, яке цього кутку відповідає:
n = θ / 6,2832 = 5000 / 6,2832 = 795,77 обертів.
Ми відповіли на питання, використовуючи наведені в статті формули. Також можна було вирішити задачу іншим способом: обчислити час, за який автомобіль проїде 1 км, і підставити його в формулу для кута повороту, звідки і отримати кутову швидкість ω. Відповідь знайдений.
