Деякі задачі в математиці вимагають вміння обчислювати значення кореня квадратного. До таких завдань відноситься рішення рівнянь другого порядку. У цій статті наведемо ефективний метод обчислення квадратних коренів і використовуємо його при роботі з формулами коренів квадратного рівняння.
Що таке квадратний корінь?
В математиці цьому поняттю відповідає символ √. Історичні дані говорять, що він почав використовуватися вперше приблизно в першій половині XVI століття в Німеччині (перший німецький працю з алгебри Крістофа Рудольфа). Вчені вважають, що цей символ є трансформованою латинською буквою r (radix означає “корінь” на латині).
Корінь з будь-якого числа дорівнює такому значенню, квадрат якого відповідає подкоренному висловом. На мові математики це визначення буде виглядати так: √x = y, якщо y 2 = x.
Корінь з позитивного числа (x > 0) є також позитивним числом (y > 0), однак якщо беруть корінь з від’ємного числа x < 0), то його результатом вже буде комплексне число, що включає уявну одиницю i.
Наведемо два простих приклади:
√9 = 3, оскільки 32 = 9; √(-9) = 3i, оскільки i2 = -1.
Ітераційна формула Герона для знаходження значень коренів квадратних
Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не представляє ніякої праці. Складності починають з’являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлено у вигляді квадрату натурального числа, наприклад √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) і так далі.
У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний метод обчислення кореня квадратного. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад розкладання в ряд Тейлора, ділення стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найбільш простим та ефективним є використання ітераційної формули Герона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратних коренів (існують свідоцтва, що стародавні вавілоняни використовували її в своїх практичних обчисленнях).
Нехай необхідно визначити значення √x. Формула знаходження квадратного кореня має наступний вигляд:
an+1 = 1/2(an+x/an), де limn->∞(an) => x.
Розшифруємо цю математичну запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a0 (воно може бути довільним, однак для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a0)2 було максимально близько до x. Потім підставити його у вказану формулу обчислення квадратного кореня і отримати нове число a1, яке вже буде ближче до шуканого значення. Після цього необхідно вже a1 підставити у вираз і отримати a2. Цю процедуру слід повторювати до отримання необхідної точності.
Приклад застосування ітераційної формули Герона
Описаний вище алгоритм отримання кореня квадратного з деякого заданого числа для багатьох може звучати досить складно і заплутано, на ділі ж виявляється все набагато простіше, оскільки ця формула сходиться дуже швидко (особливо якщо вибрано вдале число a0).
Наведемо простий приклад: необхідно обчислити √11. Виберемо a0 = 3, так як 32 = 9, що ближче до 11, ніж 42 = 16. Підставляючи в формулу, отримаємо:
a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Далі немає сенсу продовжувати обчислення, оскільки ми отримали, що a2 і a3 починають відрізнятися лише в 5-му знаку після коми. Таким чином, достатньо було застосувати всього 2 рази формулу, щоб обчислити √11 з точністю до 0,0001.
В даний час широко використовуються калькулятори і комп’ютери для обчислення коренів, тим не менш зазначену формулу корисно запам’ятати, щоб мати можливість вручну обчислювати їх точне значення.
Рівняння другого порядку
Розуміння того, що таке корінь квадратний, і вміння обчислювати використовується при розв’язуванні квадратних рівнянь. Цими рівняннями називають рівності з однією невідомою, загальний вигляд яких наведено на малюнку нижче.
Тут c, b і a являють собою деякі числа, причому a не повинна дорівнювати нулю, а значення c і b можуть бути абсолютно довільними, в тому числі і рівними нулю.
Будь-які значення ікса, що задовольняють вказаним на рисунку рівності, називаються його корінням (не слід плутати це поняття з квадратним коренем √). Оскільки розглянуте рівняння має 2-й порядок (x2), то коренів для нього не може бути більше, ніж два числа. Розглянемо далі в статті, як знаходити ці корені.
Знаходження коренів квадратного рівняння (формула)
Цей спосіб вирішення розглянутого типу рівностей також називається універсальним, або методом через дискриминант. Його можна застосовувати для будь-яких квадратних рівнянь. Формула дискримінанта і коренів квадратного рівняння має наступний вигляд:
З неї видно, що коріння залежать від значення кожного з трьох коефіцієнтів рівняння. Більше того, обчислення x1 відрізняється від розрахунку x2 лише знаком перед коренем квадратним. Підкореневий вираз, що дорівнює b2 – 4ac, є не чим іншим, як дискриминантом розглянутого рівності. Дискриминант у формулою коренів квадратного рівняння відіграє важливу роль, оскільки він визначає кількість і тип рішень. Так, якщо він дорівнює нулю, то рішення буде всього одне, якщо він позитивний, то рівняння має два дійсними коренями, нарешті, негативний дискриминант призводить до двох комплексних коренів x1 і x2.
Теорема Вієта або деякі властивості коренів рівнянь другого порядку
В кінці XVI століття один з основоположників сучасної алгебри француз Франсуа вієта які були введені, вивчаючи рівняння другого порядку, зміг отримати його властивості коренів. Математично їх можна записати так:
x1 + x2 = -b / a x1 * x2 = c / a.
Обидва рівності легко може отримати кожен, для цього необхідно лише виконати відповідні математичні операції з корінням, отриманими через формулу з дискриминантом.
Сукупність цих двох виразів можна по праву назвати другою формулою коренів квадратного рівняння, яка надає можливість вгадувати його рішення, не використовуючи при цьому дискриминант. Тут слід обмовитися, що хоча обидва вирази справедливі завжди, застосовувати їх для розв’язання рівняння зручно тільки в тому випадку, якщо воно може бути розкладено на множники.
Завдання на закріплення отриманих знань
Вирішимо математичну задачу, в якій продемонструємо всі прийоми, описаних у статті. Умови наступні завдання: необхідно знайти два числа, для яких добуток дорівнює -13, а сума становить 4.
Це умова відразу нагадує про теорему Вієта, застосовуючи формули суми квадратних коренів і їх твори, записуємо:
x1 + x2 = -b / a = 4;
x1 * x2 = c / a = -13.
Якщо припустити, що a = 1, тоді b = -4 і c = -13. Ці коефіцієнти дозволяють скласти рівняння другого порядку:
x2 – 4x – 13 = 0.
Скористаємося формулою з дискриминантом, отримаємо такі корені:
x1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 – 4 * 1 * (-13) = 68.
Тобто задача звелась до знаходження числа √68. Зауважимо, що 68 = 4 * 17, тоді, використовуючи властивість квадратного кореня, отримаємо: √68 = 2√17.
Тепер скористаємося розглянутої формулою квадратного кореня: a0 = 4, тоді:
a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
В обчисленні a3 немає необхідності, оскільки знайдені значення відрізняються всього на 0,02. Таким чином, √68 = 8,246. Підставляючи його у формулу для x1,2, отримаємо:
x1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 і x2 = (4 – 8,246)/2 = -2,123.
Як бачимо, сума знайдених чисел дійсно дорівнює 4, якщо ж знайти їх добуток, то воно буде одно -12,999, що задовольняє умові задачі з точністю до 0,001.
