Вісь проходить через центр фігури паралельно одній із сторін
Нехай дано прямокутник з розмірами сторін a і b. Припустимо, що вісь O ділить фігуру на дві рівні половини і паралельна стороні a. Ця ситуація зображена на малюнку нижче.
Подвійний інтеграл для такої ситуації можна порахувати досить просто, оскільки відстань r будь-якого елемента з площею dA буде дорівнює x. При цьому інтегрування проводиться від -b/2 до +b/2 (вісь O перетинає початок координат по осі x). Що стосується меж інтегрування по y, то їх можна вибрати, як від -a/2 до +a/2 (початок координат у центрі фігури), так і від 0 до a (початок координат лежить на середині однієї з сторін довжиною b). Для визначеності варто вибрати другий варіант. Тоді загальна формула для моменту інерції другого порядку запишеться у вигляді:
Io = ∫0a∫-b/2+b/2(x2*dx*dy).
Обчислюємо подвійний інтеграл по порядку, підставляємо відомі межі, виходить:
Io = x3/3|-b/2+b/2*y|0a = b3*a/12.
Таким чином, отримана формула моменту інерції прямокутника для осі, що проходить через його середину паралельно сторонам з довжиною a.
Очевидно, що якщо вісь буде проходити паралельно сторонам b, то нічого не зміниться в розрахунку, за винятком того, що позначення сторін поміняються місцями. Тобто вийде формула:
Io = a3*b/12.
