Коли в загальноосвітніх школах вивчають властивості упорядкованих послідовностей чисел, то в обов’язковому порядку розглядають так звану убуваючу нескінченну геометричну прогресію. Розкриємо детальніше це питання в статті.
Що таке геометрична прогресія?
Перед тим як переходити до пояснення нескінченної спадної геометричної прогресії, слід дати визначення цієї числової послідовності. Геометрична прогресія – це такий ряд чисел, у якому кожний наступний член однозначно виходить з попереднього шляхом множення його на деяке раціональне число. Це число називається знаменником.
Прикладом цього виду прогресії є наступний ряд чисел: 1, 4, 16, 64, … Видно, що якщо помножити будь-яке з цих чисел на 4, то виходить наступний член ряду. Це означає, що знаменник цієї послідовності знаходиться за формулою: r = an/an-1, тут an і an-1 – n-й і (n-1)-й члени прогресії.
Виходячи з визначення цього виду прогресії, можна n-й її член знайти, використовуючи наступне вираз: an = a1*r(n-1), тобто достатньо знати знаменник і перший член числового ряду.
Наприклад, знайдемо 8-е число в геометричній прогресії, наведеною вище. Маємо: a8 = a1*r7 = 1*47 = 16384.
Ще однією важливою формулою для геометричній прогресії є вираз для знаходження суми її n перших членів. Ця формула має вигляд: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Застосуємо її для знаходження суми 8-ми чисел послідовності вище. Отримуємо: S8 = 1*(48-1)/(4-1) = 21845.
Які бувають геометричні прогресії
В залежності від знака і модуля знаменника r виділяють 4 види геометричної прогресії:
- Зростаюча. Якщо r>1, тоді кожен наступний член буде більше попереднього по модулю. Нескінченна сума такого ряду прагне до нескінченності (або мінус нескінченності, якщо 1-й член є негативним числом). Приклад цієї прогресії розглянуто в попередньому пункті.
- Постійна. Якщо r=1, то ми маємо звичайний набір однакових чисел.
- Змінна. Якщо r1, то ми отримуємо послідовність, в якій два сусідніх члени відрізняються по знаку. Наприклад, 1, -3, 9, -27, 81, … Тут r = -3.
- Щербатий. Якщо |r|<1, то зі збільшенням номера числа в ряду буде зменшуватися його абсолютне значення. Наступний ряд є яскравим прикладом цього виду геометричній прогресії: 100, 50, 25, 12,5 …, де знаменник r = 0,5.
Далі в статті розглянемо убуваючу прогресію як найбільш цікавий та корисний для практики числовий ряд.
Спадна прогресія
Як було сказано вище, знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії по модулю повинен бути менше одиниці, тобто |r|<1. Це означає, що він може бути як позитивним, так і негативним.
Практичний інтерес представляє сума членів геометричної прогресії нескінченно спадної, тому що вона являє собою деяке кінцеве число.
Щоб отримати формулу для розглянутого випадку, скористаємося виразом для суми, яке наведене в першому пункті статті: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Якщо розглядати нескінченний ряд, тобто n→∞, тоді rn>0, оскільки |r|∞ для спадної прогресії прийме вигляд: S∞ = a1*/(1-r).
Наведемо приклад використання отриманої формули. Нехай необхідно знайти нескінченну суму для ряду 100, 50, 25, 12,5 … Як видно, перший член геометричної прогресії нескінченно спадної a1 дорівнює 100, а її знаменник r = 0,5 (50/100 = 25/50 = 12,5/25). Підставимо ці значення у формулу для нескінченної суми, отримаємо: S∞ = a1*/(1-r) = 100/(1-0,5) = 200.
Черепаха і Ахіллес (парадокс Зенона)
Де можна використовувати результат, отриманий в пункті вище? Наприклад, при поясненні парадоксу давньогрецького філософа Зенона. Суть цього парадоксу полягає в тому, що Ахіллес (з давньогрецької мови це ім’я перекладається, як “той, хто володіє “легкими” ногами”), будучи самим швидким воїном, не може наздогнати черепаху.
Зенон міркував наступним чином: якщо черепаха буде попереду Ахіллеса, і вони одночасно почнуть рух, то коли воїн досягне місця, звідки взяла старт черепаха, остання вже відповзе на деяку відстань, тому Ахіллесу доведеться знову його долати (хоча воно і менше, ніж первісне). Пробігши новий відрізок шляху, воїн все одно опиниться позаду черепахи, адже вона знову проповзе деяку дистанцію. Так способом можна розмірковувати нескінченно.
Кожен з нас знає, що не тільки Ахіллес, але і будь-яка людина, рухаючись пішки, обжене черепаху. У чому ж помилився філософ? Він не врахував, що хоча сума відрізків є нескінченною, вона призводить до кінцевого числа S∞. Як тільки Ахіллес подолає відстань S∞, він відразу ж обжене черепаху.
Цікаво зазначити, що сам філософ пояснював той факт, що Ахіллес на практиці все ж обганяє черепаху, тим, що рух і час є ілюзією, і в реальності не існують.
