Головною характеристикою будь-якої геометричної фігури в просторі є її обсяг. У цій статті розглянемо, що собою являє піраміда з трикутником в підставі, а також покажемо, як знаходити об’єм трикутної піраміди – правильної повної та усіченої.
Що це – трикутна піраміда?
Кожен чув про древніх єгипетських пірамідах, тим не менш вони є чотирикутними правильними, а не трикутними. Пояснимо, як отримати трикутну піраміду.
Візьмемо довільний трикутник і з’єднаємо всі його вершини з деякою однією точкою, розташованою поза площиною трикутника. Утворена фігура буде називатися трикутною пірамідою. Вона показана на малюнку нижче.
Як бачимо, розглянута фігура утворена чотирма трикутниками, які в загальному випадку є різними. Кожен трикутник – це сторони піраміди або її грань. Цю піраміду часто називають тетраедром, тобто чотиригранної об’ємною фігурою.
Крім сторін, піраміда також має ребрами (їх у неї 6) і вершинами (їх 4).
Правильна піраміда з трикутним підставою
Фігура, яка отримана з використанням довільного трикутника і точки в просторі, буде неправильною похилій пірамідою в загальному випадку. Тепер уявімо, що вихідний трикутник має однакові боку, а точка простору розташована точно над його геометричним центром на відстані h від площини трикутника. Побудована з використанням цих вихідних даних піраміда буде правильною.
Очевидно, що число ребер, сторін і вершин у правильної трикутної піраміди буде таким же, як у піраміди, побудованої з довільного трикутника.
Однак правильна фігура володіє деякими відмінними рисами:
- її висота, проведена з вершини, точно перетне підставу в геометричному центрі (точка перетину медіан);
- бічна поверхня такої піраміди утворена трьома однаковими трикутниками, які є равнобедренными або рівносторонніми.
Правильна трикутна піраміда є не лише суто теоретичним геометричним об’єктом. Деякі структури в природі мають її форму, наприклад кристалічна решітка алмазу, де атом вуглецю з’єднаний з чотирма такими ж атомами ковалентными зв’язками, або молекула метану, де вершини піраміди утворені атомами водню.
Формули об’єму трикутної піраміди
Визначити обсяг абсолютно будь піраміди з довільним n-кутником на підставі можна за допомогою наступного виразу:
V = 1/3 × So × h
Тут символ So позначає площа підстави, h – це висота фігури, проведена до зазначеного основи з вершини піраміди.
Оскільки площа довільного трикутника дорівнює половині добутку довжини його сторони a на апофему ha, опущену на цю сторону, то формула обсягу трикутної піраміди може бути записана в наступному вигляді:
V = 1/6 × a × ha × h
Для трикутної піраміди загального типу визначення висоти є непростим завданням. Для її вирішення найпростіше скористатися формулою відстані між точкою (вершиною) і площиною (трикутним підставою), представленої рівняння загального виду.
Для правильної піраміди формула об’єму має конкретний вид. Площа основи (рівностороннього трикутника) для неї дорівнює:
So = √3/4 × a2
Підставляємо її в загальний вираз для V, отримуємо:
V = √3/12 × a2 × h
Окремим випадком є ситуація, коли у тетраедра всі сторони виявляються однаковими рівносторонніми трикутниками. У цьому випадку визначити його обсяг можна лише виходячи з знання параметра його ребра a. Відповідний вираз має вигляд:
V = √2/12 × a3
Усічена піраміда
Якщо верхню частину, яка містить вершину, відсікти у правильної трикутної піраміди, то вийде усічена фігура. На відміну від вихідної вона буде складатися із двох рівнобічних трикутних підстав і трьох рівнобедрених трапецій.
Нижче на фото показано, як виглядає правильна зрізана піраміда трикутна, виготовлена з паперу.
Для визначення обсягу трикутної піраміди усіченої необхідно знати три її лінійних характеристики: кожну із сторін підстав і висоту фігури, рівну відстані між верхнім і нижнім підставами. Відповідна формула для обсягу записується так:
V = √3/12 × h × (A2 + a2 + A × a)
Тут h – висота фігури, A і a – довжини сторін великого (нижнього) і малого (верхнього) рівносторонніх трикутників відповідно.
Рішення завдання
Щоб наведена інформація в статті була зрозумілішою для читача, покажемо на наочному прикладі, як користуватися деякими з записаних формул.
Нехай об’єм трикутної піраміди дорівнює 15 см3. Відомо, що фігура є правильною. Слід знайти апофему ab бічного ребра, якщо відомо, що висота піраміди складає 4 див.
Оскільки відомі обсяг і висота фігури, то можна скористатися відповідною формулою для обчислення довжини сторони її основи. Маємо:
V = √3/12 × a2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см
Апофему ab можна розрахувати, якщо розглянути відповідний прямокутний трикутник всередині піраміди. Катетами трикутника 1/3 довжини висоти підстави і висота піраміди, гіпотенузою буде шукана апофема. Тоді:
ab = √(h2 + a2 / 12) = √(16 + 25,982 / 12) = 8,5 см
Розрахована довжина апофемы фігури вийшла більше її висоти, що справедливо для піраміди будь-якого типу.
