Рівняння моментів: моменти сили, імпульсу та інерції

Якщо лінійне переміщення тіл описують в класичній механіці за допомогою законів Ньютона, характеристики руху механічних систем по кругових траєкторіях обчислюють за допомогою спеціального вираження, яке називається рівнянням моментів. Про які моменти йде мова і в чому полягає зміст цього рівняння? Ці та інші питання розкриваються в статті.

Момент сили

Всім добре відома ньютоновская сила, яка, діючи на тіло, призводить до повідомлення йому прискорення. Коли ж така сила додається до об’єкта, який закріплений на деякій осі обертання, то цю характеристику називають моментом сили. Рівняння моменту сили може бути записане в такому вигляді:

M = L*F

Малюнок, що пояснює це вираз, наведено нижче.

Тут видно, що сила F спрямована до вектора L під кутом Φ. Сам же вектор L покладається спрямованим від осі обертання (вказана стрілкою) до точки додатку F.

Наведена вище формула являє собою добуток двох векторів, тому величина M також є спрямованою. Куди буде повернутий момент сили M? Це можна визначити за правилом правої руки (чотири пальці спрямовані вздовж траєкторії від кінця вектора L до кінця F, а відставлений великий палець показує напрям M).

На малюнку вище вираз для моменту сили в скалярному вигляді прийме форму:

M = L*F*sin(Φ)

Якщо уважно вдивитися в малюнок, то можна побачити, що L*sin(Φ) = d, тоді маємо формулу:

M = d*F

Величина d є важливою характеристикою при обчисленні моменту сили, оскільки вона відображає ефективність F прикладеної до системи. Цю величину прийнято називати важелем сили.

Фізичний сенс M полягає в здатності сили зробити обертання системи. Цю здатність може відчути на собі кожен, якщо буде відкривати двері за ручку, штовхаючи її близько петель, або ж спробує відкрутити гайку коротким і довгим ключем.

Дивіться також:  Ковкість - це що? Які метали самі ковкие?

Рівновага системи

Поняття про момент сили виявляється дуже корисним, коли розглядають рівновагу системи, на яку діють декілька сил, і яка має вісь або точку обертання. У таких випадках застосовують формулу:

∑iMi=0

Тобто система буде знаходитися в рівновазі, якщо сума моментів сил, прикладених до неї, нульова. Зауважимо, що в цій формулі присутній знак вектора над моментом, тобто при рішенні слід не забувати враховувати знак цієї величини. Загальноприйнятим правилом вважається, що діюча сила, яка обертає систему проти годинникової стрілки, створює позитивний Mi.

Яскравим прикладом задач розглянутого типу є проблеми з рівновагою важелів Архімеда.

Момент імпульсу

Це ще одна важлива характеристика руху по колу. У фізиці її описують добутком кількості руху на важіль. Рівняння моменту імпульсу має такий вигляд:

T = r*p

Тут p – вектор імпульсу, r – вектор, що з’єднує обертову матеріальну точку з віссю.

Пояснює це вираз малюнок наведено нижче.

Тут ω – кутова швидкість, яка далі з’явиться в рівнянні моментів. Зауважимо, що напрям вектора T знаходиться за тим же правилом, що і M. На малюнку вище T за напрямом буде збігатися з вектором кутової швидкості ω.

Фізичний зміст величини T є таким же, як і характеристики p у випадку лінійного руху, тобто момент імпульсу описує кількість обертального руху (запасену кінетичну енергію).

Момент інерції

Третя важлива характеристика, без якої неможливо скласти рівняння обертового руху об’єкта, – це момент інерції. З’являється він у фізиці в результаті математичних перетворень формули для моменту імпульсу матеріальної точки. Покажемо, як це робиться.

Уявімо величину T в наступному вигляді:

T = r*m*v, де p = m*v

Користуючись зв’язком між кутовою та лінійною швидкостями, цей вираз можна переписати наступним чином:

Дивіться також:  Міжнародна система одиниць фізичних величин: поняття фізичної величини, способи визначення

T = r*m*r*ω, де v = r*ω

Останній вираз запишемо у вигляді:

T = r2*m*ω

Величина r2*m – це момент інерції I для точки масою m, яка здійснює круговий рух навколо осі на відстані від неї r. Цей окремий випадок дозволяє ввести загальне рівняння моменту інерції для тіла довільної форми:

I = ∫m (r2*dm)

I – це величина адитивна, сенс якої полягає в інерційності обертової системи. Чим більше I, тим важче розкрутити тіло, і необхідно докласти значних зусиль, щоб його зупинити.

Рівняння моментів

Ми розглянули три величини, назва яких починається зі слова “момент”. Це було зроблено навмисно, оскільки всі вони пов’язані в одне вираження, що одержало назву рівняння 3 моментів. Виведемо його.

Розглянемо вираз для моменту імпульсу T:

T = I*ω

Знайдемо, як змінюється величина T у часі, маємо:

dT/dt = I*dω/dt

Враховуючи, що похідна кутової швидкості дорівнює такої для лінійної швидкості, діленої на r, а також розкриваючи величину I, приходимо до виразу:

dT/dt = m*r2*1/r*dv/dt = r*m*a, де a = dv/dt – лінійне прискорення.

Зауважимо, що добуток маси на прискорення – це не що інше, як діє зовнішня сила F. У результаті отримуємо:

dT/dt = r*F = M

Ми прийшли до цікавого висновку: зміна моменту імпульсу дорівнює моменту діючої зовнішньої сили. Це вираз прийнято записувати в дещо іншій формі:

M = I*α, де α = dω/dt – кутове прискорення.

Це рівняння називається рівнянням моментів. Воно дозволяє розрахувати будь-яку характеристику обертового тіла, знаючи параметри системи і величину зовнішнього впливу на неї.

Закон збереження T

Отриманий у попередньому пункті висновок свідчить про те, що якщо зовнішній момент сил дорівнює нулю, то момент імпульсу змінюватися не буде. В такому випадку запишемо вираз:

T = const. або I1*ω1 = I2*ω2

Ця формула носить назву закону збереження величини T. тобто будь-які зміни всередині системи сумарний момент імпульсу не змінюють.

Дивіться також:  Фізіогноміка губи: визначення характеру людини, особливості, фото з описом

Цей факт використовується фігуристами і балеринами під час їх виступів. Також його застосовують, якщо необхідно виконати поворот навколо своєї осі штучного супутника, який рухається в космосі.