Однією з фігур, яка зустрічається при розв’язуванні геометричних задач в просторі, є конус. Він, на відміну від многогранників, відноситься до класу фігур обертання. Розглянемо у статті, що розуміють під ним в геометрії, і досліджуємо характеристики різних перерізів конуса.
Конус в геометрії
Припустимо, що є деяка крива на площині. Це може бути парабола, окружність, еліпс і так далі. Візьмемо точку, яка зазначеній площині не належить, і з’єднаємо з нею всі точки кривої. Утворена поверхня називається конічної або просто конусом.
Якщо вихідна крива є замкнутою, тоді конічну поверхню можна заповнити речовиною. Отримана таким чином фігура є об’ємним тілом. Вона також називається конусом. Кілька конусів, виготовлених з паперу, показано нижче на малюнку.
Конічна поверхня зустрічається в звичайному житті. Наприклад, цією формою має морозиво-ріжок або дорожній смугастий конус, який покликаний привернути увагу водіїв та пішоходів.
Види конусів
Як можна здогадатися, розглянуті фігури один від одного відрізняються типом кривої, на якій вони утворені. Наприклад, існує круглий конус або еліптичний. Ця крива називається підставою фігури. Однак форма підстави – це не єдина особливість, що дозволяє класифікувати конуси.
Другою важливою їх характеристикою є положення висоти щодо заснування. Висотою конуса називається відрізок прямої, який опущений з вершини фігури на площині підстави і перпендикулярний цій площині. Якщо висота перетинає в геометричному центрі підставу (наприклад, в центрі кола), то конус буде прямим, якщо перпендикулярний відрізок падає в будь-яку іншу точку підстави або за його межі, то фігура буде похилою.
Далі в статті будемо розглядати тільки круглий прямий конус як яскравий представник розглянутого класу фігур.
Геометричні назви елементів конуса
Вище було сказано, що конус має підставу. Воно обмежене колом, яка називається направляючою конуса. Відрізки, що з’єднують напрямну з точкою, що не лежить у площині основи, називаються утворюють. Сукупність всіх точок утворюють називається конічної або бічною поверхнею фігури. Для круглого прямого конуса все що утворюють мають однакову довжину.
Точка, де утворюють перетинаються, називається вершиною фігури. На відміну від многогранників, конус має єдину вершину і не має жодної межі.
Пряма лінія, що проходить через вершину фігури і центр кола, називається віссю. Вісь містить у собі висоту прямого конуса, тому вона з площиною підстави утворює прямий кут. Ця інформація важлива при обчисленні площі осьового перерізу конуса.
Круглий прямий конус – фігура обертання
Розглянутий конус є досить симетричною фігурою, яку можна отримати в результаті обертання трикутника. Припустимо, що є трикутник з прямим кутом. Щоб отримати конус, досить обертати цей трикутник навколо одного з катетів так, як показано на малюнку нижче.
Видно, що вісь обертання є віссю конуса. Один з катетів дорівнює висоті фігури, а другий катет стане радіусом основи. Гіпотенуза трикутника в результаті обертання описує конічну поверхню. Вона буде твірної конуса.
Зазначений спосіб отримання круглого прямого конуса зручно використовувати для вивчення математичної зв’язку між лінійними параметрами фігури: висоти h, радіус круглого основи r і спрямовуючої g. Відповідна формула випливає з властивостей прямокутного трикутника. Вона наведена нижче:
g2 = h2 + r2.
Оскільки ми маємо одне рівняння і три змінних, то це означає, що для однозначного визначення параметрів круглого конуса необхідно знати дві будь-які величини.
Перерізу конуса площиною, яка не містить вершину фігури
Питання побудови перерізів фігури не є тривіальним. Справа в тому, що форма перерізу конуса поверхнею залежить від взаємного розташування фігури і січною.
Припустимо, що ми перетинаємо конус площиною. Яке перетин вийде в результаті цієї геометричної операції? Варіанти форми перерізу показано на малюнку нижче.
Рожеве перетин є колом. Воно утворене в результаті перетину фігури площиною, яка паралельна основи конуса. Це перерізу перпендикулярно осі фігури. Утворена вище січній площині фігура являє собою конус, подібний до вихідного, але має коло меншого розміру в підставі.
Зелене перетин – це еліпс. Він виходить, якщо січна площина не паралельна основі, однак вона перетинає тільки бічну поверхню конуса. Відсічена вище площині фігура називається еліптичним похилим конусом.
Синє і помаранчеве перерізу мають форму параболи і гіперболи, відповідно. Як видно з малюнка, вони виходять, якщо січна площина одночасно перетинає бічну поверхню і основа фігури.
Для визначення площ перерізів конуса, які були розглянуті, необхідно використовувати формули для відповідної фігури на площині. Наприклад, для кола це помножене на квадрат радіуса число Пі, а для еліпса – це твір Пі на довжину малої і великої півосей:
коло: S = pi*r2;
еліпс: S = pi*a*b .
Перерізу, що містять вершину конуса
Тепер розглянемо варіанти перерізів, які виникають, якщо січна площина проходить через вершину конуса. Можливі три випадки:
- Переріз – єдина точка. Наприклад, що проходить через вершину і паралельна основи площину дає саме таке перетин.
- Переріз – пряма. Ця ситуація виникає, коли площина є дотичною до конічної поверхні. Пряма перетину в цьому випадку буде твірної конуса.
- Осьовий переріз. Воно утворюється, коли площина містить не тільки вершину фігури, але і всю її вісь. При цьому площина буде перпендикулярна круглого основи і розділить конус на дві рівні частини.
Очевидно, що площі перших двох видів перерізів дорівнюють нулю. Що стосується площі перерізу конуса для 3-го виду, то це питання докладніше розглядається в наступному пункті.
Осьовий переріз
Вище зазначалося, що осьовим перерізом конуса називається фігура, утворена при перетині конуса площиною, що проходить через його вісь. Нескладно здогадатися, що це перетин буде представляти фігуру, показану на малюнку нижче.
Це рівнобедрений трикутник. Вершина осьового перерізу конуса – це вершина цього трикутника, утворена перетином однакових сторін. Останні дорівнюють довжині твірної конуса. Підстава трикутника – це діаметр основи конуса.
Обчислення площі осьового перерізу конуса зводиться до знаходження площі отриманого трикутника. Якщо спочатку відомі радіус основи r і висота h конуса, тоді площа S розглянутого перерізу буде дорівнює:
S = h*r.
Цей вираз є наслідком застосування стандартної формули для площі трикутника (половина твору висоти на основу).
Відзначимо, що якщо твірна конуса дорівнює діаметру його круглого підстави, то осьовий переріз конуса – трикутник рівносторонній.
Трикутний перетин утворюється тоді, коли січна площина перпендикулярна до основи конуса і проходить через його вісь. Будь-яка інша площина, паралельна названої, дасть в перерізі гіперболу. Однак якщо площина містить вершину конуса і перетинає його підстава не через діаметр, то отримане переріз теж буде рівнобедреним трикутником.
Завдання на визначення лінійних параметрів конуса
Покажемо, як користуватися записаної для площі осьового перерізу формулою для вирішення геометричної задачі.
Відомо, що площа осьового перерізу конуса дорівнює 100 см2. Отриманий в перетин трикутник є рівностороннім. Чому дорівнюють висота конуса і радіус його основи?
Оскільки трикутник рівносторонній, то його висота h пов’язана з довжиною сторони a наступним співвідношенням:
h = √3/2*a.
Враховуючи, що сторона трикутника в два рази більший за радіус основи конуса, і підставляючи цей вираз у формулу для площі перерізу, отримуємо:
S = h*r = √3/2*2*r*r =>
r = √(S/√3).
Тоді висота конуса дорівнює:
h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).
Залишається підставити значення площі з умови задачі і отримати відповідь:
r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;
h = √(√3*100) ≈ 13,16 див.
В яких областях важливо знати параметри розглянутих перерізів?
Вивчення різних типів перерізів конуса представляє не тільки теоретичний інтерес, але також має практичне застосування.
По-перше, слід зазначити область аеродинаміки, де з допомогою конічних перерізів вдається створювати ідеальні гладкі форми твердих тел.
По-друге, конічні перетини є траєкторіями, по яких рухаються космічні об’єкти у гравітаційних полях. Який конкретно вид перерізу являє траєкторія руху космічних тіл системи, визначається співвідношенням їх мас, абсолютних швидкостей і відстаней між ними.
