Завдання на визначення рівняння площини загального виду
Покажемо, як користуватися розглянутими формулами для вирішення геометричних задач. Припустимо, що направляючий вектор площини дорівнює n(5; -3; 1). Слід знайти рівняння площини, знаючи, що точка P(2; 0; 0) їй належить.
Загальне рівняння записується у вигляді:
A*x + B*y + C*z +D = 0.
Оскільки вектор перпендикулярний площині відомий, то рівняння прийме вид:
5*x – 3*y + z +D = 0.
Залишається знайти вільний член D. Його розраховуємо знання з координат P:
D = -A*x0-B*y0-C*z0 = -5*2 + 3*0 – 1*0 = -10.
Таким чином, шукане рівняння площини має форму:
5*x – 3*y + z -10 = 0.
Малюнок нижче показує, що представляє собою отримана площину.
Вказані координати точок відповідають перетину площини з осями x, y і z.
Завдання на визначення площині через два вектора і точку
Тепер припустимо, що попередня площина задана інакше. Відомі два вектора u(-2; 0; 10) та v(-2; -10/3; 0), а також точка P(2;0;0). Як записати рівняння площини у векторному параметричному вигляді? Скориставшись розглянутої відповідною формулою, отримуємо:
(x; y; z) = (2 ; 0 ; 0 ) + α*(-2; 0; 10) + β*(-2; -10/3; 0).
Зауважимо, що визначення цього рівняння площини, вектори u і v можна брати абсолютно будь-які, але з однією умовою: вони не повинні бути паралельними. В іншому випадку площину однозначно визначити не можна, однак, можна знайти рівняння пучка або набору площин.
