Вектор в просторі
Всі реальні об’єкти, які нас оточують, перебувають у тривимірному просторі. Вивченням геометричних властивостей тривимірних фігур займається стереометрія, яка оперує поняттям тривимірних векторів. Від двовимірних вони відрізняються тільки тим, що для їх опису необхідна додаткова координата, що відраховується вздовж третьої перпендикулярної x і y осі z.
Малюнок нижче демонструє вектор в просторі. Координати кінця уздовж кожної осі позначені кольоровими смужками. Початок вектора знаходиться в точці перетину всіх трьох координатних осей, тобто має координати (0; 0; 0).
Оскільки вектор на площині є приватним випадком просторово спрямованого відрізка, то далі в статті будемо розглядати тільки тривимірний вектор.
Координати вектора за відомими координатами його початку і кінця
Припустимо, що є дві точки P(x1; y1; z1) і Q(x2; y2; z2). Як визначити координати вектора PQ. По-перше, слід домовитися, яка з точок буде початком, а яка кінцем вектора. В математиці прийнято записувати аналізований об’єкт вздовж його напрямку, тобто P – початок, Q – кінець. По-друге, координати вектора PQ обчислюються як різниці відповідних координат кінця та початку, тобто:
PQ = (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1).
Зазначимо, що змінивши напрям вектора, його координати поміняють знак, так:
QP = (x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2).
Це означає, що PQ = -QP.
Важливо розуміти ще один момент. Вище було сказано, що в площині існує незліченна кількість векторів, рівних даним. Цей факт справедливий і для просторового випадку. По суті, коли ми обчислювали координати PQ у прикладі вище, ми здійснювали операцію паралельного перенесення цього вектора таким чином, щоб його початок збігся з початком координат. Вектор PQ може бути зображений у вигляді спрямованого відрізка з початку координат в точку M((x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1).
