Пряма є базовим геометричним елементом для побудови більш складних фігур у просторі і на площині. В двовимірному просторі прямі можуть перетинатися, або бути паралельними. В тривимірному випадку до них ще додаються мимобіжні прямі. В даній статті розглянемо визначення прямої, паралельної до іншої прямої або площини.
Що таке пряма?
Коли кажуть: “Дайте визначення прямих паралельних”, необхідно чітко уявляти, про якому геометричному елементі йде мова. Під прямою розуміється така сукупність точок, в якій всі вектори, що утворені двома довільними точками, є паралельними. Це визначення можна дати інакше: пряма – це така лінія, яка з’єднує дві задані точки відрізком найменшої довжини.
Малюнок вище показує, як дві точки A і B з’єднані найменшим відрізком, що належить прямій.
Будь-яка пряма, має напрямок, яке задається її напрямним вектором, і є одновимірним об’єктом. Останній факт означає, що можна вимірювати довжину відрізків – частин прямої.
Рівняння прямої
Якщо задана деяка система координат, то одним математичним рівнянням можна записати сукупність всіх точок, які утворюють дану пряму. Це рівняння називається рівнянням прямої. Воно може бути записано кількома способами. Тут розглянемо тільки три з них.
Якщо відомий направляючий вектор прямої u(a; b; c) в тривимірному просторі і деяка точка M(x0; y0; z0), що лежить на прямій, тоді її рівняння записується так:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c).
Тут λ (лямбда) – параметр, який може приймати будь-яке число. По суті, це рівняння переводить точку M будь-яку іншу точку прямої з допомогою векторів λ*u. Це рівняння називається векторним.
Розкриваючи векторне рівняння, ми приходимо до параметричного виразом:
x = x0 + λ*a;
y = y0 + λ*b;
z = z0 + λ*c.
Для двовимірного випадку маємо аналогічні вирази з двома координатами:
(x; y) = (x0; y0) + λ*(a; b) і
x = x0 + λ*a;
y = y0 + λ*b.
Для прямої на площині розглянемо ще один спосіб її завдання. Для цього виразимо параметр лямбда в останньому типі рівняння і приравняем отримані рівності:
(x-x0)/a = (y-y0)/b =>
A*x + B*y + C = 0, де A = 1/a; B = -1/b; C = y0/b – x0/a.
Отримане рівняння називається загальним рівнянням прямої на площині. Його можна переписати в більш звичному вигляді:
y = k*x + p, де k = A/B; p = -C.
Паралельні прямі
Визначення паралельних прямих простіше за все дати, використовуючи поняття про вектор спрямовуючий. Дві прямі будуть паралельні тільки в тому випадку, якщо такими є їх направляючі вектори. Це визначення справедливо будь просторах.
Для визначення прямих паралельних відрізки паралельні також можна використовувати. Так, якщо два довільних відрізка, кожен з яких належить відповідної прямої, будуть паралельними, то такими будуть і прямі.
Паралельність векторів можна перевірити двома способами:
- Обчислити косинус кута між ними, користуючись скалярним твором. Він повинен бути дорівнює 1, що відповідає куту 0o між розглянутими геометричними елементами.
- Представити один вектор у вигляді множення на деяке число другого. Якщо це вдасться зробити, то вектора і визначаються ними прямі будуть паралельні.
Відстань між прямими
Якщо дві прямі перетинаються, то дистанція між ними дорівнює нулю. Яке визначення відстані між паралельними прямими можна дати? Дистанцією між паралельними прямими вважається довжина вектора, кінець якого лежить на одній прямій, а початок на інший, при цьому вектор повинен бути перпендикулярний обом прямим.
Обчислити цю відстань можна двома методами:
- Вирішити систему з трьох рівнянь. Першим з них буде скалярний добуток перпендикулярного вектора на будь-який з направляючих векторів прямих. Два інших рівняння системи виходять з допомогою підстановки координат перпендикулярного вектора в рівняння для прямих.
- Скористатися відомою формулою, яка виходить з розгляду площі паралелограма. Ця формула дана нижче:
d = |[P1P2*u]|/|u|.
Тут u – напрямний вектор 1-й прямий, P1 і P2 – довільні точки на 1-й і 2-й прямий, відповідно, P1P2 – вектор, побудований на цих точках. Звертаємо увагу, що в чисельнику формули варто модуль векторного добутку.
Другий метод дозволяє розрахувати відстань, однак якщо відома конкретна точка на прямій, і необхідно знайти вектор перпендикулярний до другої прямої з початком у відомій точці, то слід застосовувати перший метод рішення.
Площина та пряма
Мова йде про просторовому випадку. Можливі лише три варіанти розташування цих геометричних об’єктів:
- вони перетинаються в одній точці;
- вони не перетинаються в одній точці, що є визначенням прямої, паралельної площині;
- всі точки прямої належать площині, тобто вони паралельні й пряма лежить у площині.
Паралельність прямої і площини визначається з умови рівності нулю твори скалярного їх направляючих векторів. Якщо площина задана в наступному вигляді:
A*x + B*y + C*z + D = 0,
то її направляючий вектор має координати n(A; B; C). Тоді умова паралельності можна записати так:
(n*u) = 0.
Через конкретну точку простору, яка не належить площині, можна провести безліч прямих, які паралельні площині.
Завдання з двома прямими
Дві прямі на площині описуються наступними рівняннями:
r1: (x; y) = (1;0) + λ*(5; 2);
r2: (x; y) = (3;-4) + α*(2; 0,8).
Необхідно з’ясувати, чи є вони паралельними, і знайти відстань між ними.
Довести паралельність просто. Для цього помножимо на 2,5 другий напрямний вектор. Отримуємо:
2,5*(2; 0,8) = (5; 2).
Оскільки ми отримали перший направляючий вектор, отже, прямі паралельні.
Для обчислення відстані між ними виберемо довільну точку на першої прямої, наприклад (1; 0). Вона буде початком перпендикулярного вектора. Знайдемо координати його кінця (x; y) на другій прямій. Можна записати наступні рівняння:
(x-1)*5 + y*2 = 0;
x = 3+ 2*α;
y = -4 + 0,8*α.
Знаходимо α:
(3+ 2*α-1)*5 + (-4 + 0,8*α)*2 = 0 =>
α ≈ -0,1724.
Тоді координати кінця перпендикулярного вектора дорівнюють:
(2,6552; -4,13792).
Тоді відстань між прямими дорівнює:
d = √((2,6552-1)2+(-4,13792-0)2) ≈ 4,4567.
Цей же результат можна отримати, якщо скористатися формулою, наведеною в статті.
