Площина та пряма
Мова йде про просторовому випадку. Можливі лише три варіанти розташування цих геометричних об’єктів:
- вони перетинаються в одній точці;
- вони не перетинаються в одній точці, що є визначенням прямої, паралельної площині;
- всі точки прямої належать площині, тобто вони паралельні й пряма лежить у площині.
Паралельність прямої і площини визначається з умови рівності нулю твори скалярного їх направляючих векторів. Якщо площина задана в наступному вигляді:
A*x + B*y + C*z + D = 0,
то її направляючий вектор має координати n(A; B; C). Тоді умова паралельності можна записати так:
(n*u) = 0.
Через конкретну точку простору, яка не належить площині, можна провести безліч прямих, які паралельні площині.
Завдання з двома прямими
Дві прямі на площині описуються наступними рівняннями:
r1: (x; y) = (1;0) + λ*(5; 2);
r2: (x; y) = (3;-4) + α*(2; 0,8).
Необхідно з’ясувати, чи є вони паралельними, і знайти відстань між ними.
Довести паралельність просто. Для цього помножимо на 2,5 другий напрямний вектор. Отримуємо:
2,5*(2; 0,8) = (5; 2).
Оскільки ми отримали перший направляючий вектор, отже, прямі паралельні.
Для обчислення відстані між ними виберемо довільну точку на першої прямої, наприклад (1; 0). Вона буде початком перпендикулярного вектора. Знайдемо координати його кінця (x; y) на другій прямій. Можна записати наступні рівняння:
(x-1)*5 + y*2 = 0;
x = 3+ 2*α;
y = -4 + 0,8*α.
Знаходимо α:
(3+ 2*α-1)*5 + (-4 + 0,8*α)*2 = 0 =>
α ≈ -0,1724.
Тоді координати кінця перпендикулярного вектора дорівнюють:
(2,6552; -4,13792).
Тоді відстань між прямими дорівнює:
d = √((2,6552-1)2+(-4,13792-0)2) ≈ 4,4567.
Цей же результат можна отримати, якщо скористатися формулою, наведеною в статті.
