При рішенні геометричних задач в просторі часто зустрічаються такі, де необхідно розрахувати кути між різними просторовими об’єктами. У цій статті розглянемо питання знаходження кутів між площинами та між ними і прямий.
Пряма в просторі
Відомо, що абсолютно будь-яка пряма на площині може бути визначена наступним рівністю:
y = a * x + b
Тут a і b – деякі числа. Якщо уявити тим же самим виразом пряму в просторі, то вийде вже площина, паралельна осі z. Для математичного визначення просторової прямий застосовують інший спосіб рішення, ніж в двовимірному випадку. Він полягає у використанні поняття “направляючий вектор”.
Направляючий вектор прямої показує її орієнтацію в просторі. Цей параметр належить прямій. Оскільки існує безліч паралельних в просторі векторів, то для однозначного визначення даного геометричного об’єкта необхідно також знати координати точки, що належить йому.
Припустимо, що є точка P(x0; y0; z0) і направляючий вектор v(a; b; c), тоді рівняння прямої може бути задано наступним чином:
(x; y; z ) = P + α * v або
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α * (a; b; c)
Цей вираз називається параметричним векторним рівнянням прямої. Коефіцієнт α є параметром, який може приймати абсолютно будь-які дійсні значення. Координати прямої можна уявити явно, розкриваючи це рівність:
x = x0 + α * a;
y = y0 + α * b;
z = z0 + α * c
Рівняння площини
Відомо кілька форм запису рівняння для площини у просторі. Тут же розглянемо одну з них, яка найчастіше використовується при розрахунку кутів між двома площинами або між одним з них і прямий.
Якщо відомий деякий вектор n(A; B; C), який перпендикулярний шуканої площини, а також зазначена точка P(x0; y0; z0), що належить їй, то загальне рівняння для останньої має вигляд:
A * x + B * y + C * z + D = 0, де D = -1 * (A * x0 + B * y0 + C * z0)
Ми опустили виведення цього виразу, який є досить простим. Тут лише зауважимо, що, знаючи коефіцієнти при змінних в рівнянні площини, можна з легкістю знайти всі вектори, які перпендикулярні їй. Останні називаються нормалями і використовуються при розрахунках кутів між похилою і площиною і між довільними аналогами.
Розташування площин і формула кута між ними
Припустимо, є дві площини. Які існують варіанти їх взаємного розташування в просторі. Оскільки площина має два нескінченних розміру і один нульовий, то можливі лише два варіанти їх взаємної орієнтації:
- вони будуть паралельними один одному;
- вони можуть перетинатися.
Кутом між площинами називається показник між їх напрямними векторами, тобто між нормалями n1 і n2.
Очевидно, що якщо є паралельними площині, то кут перетину дорівнює нулю між ними. Якщо ж вони перетинаються, то він відмінний від нуля, але завжди є гострим. Приватним випадком перетину буде кут 90 o, коли площини взаємно перпендикулярні один одному.
Кут α між n1 і n2 легко визначається скалярного добутку цих векторів. Тобто має місце формула:
α = arccos((n1 * n2)/(|n1| * |n2|))
Припустимо, що координати цих векторів наступні: n1(a1; b1; c1), n2(a2; b2; c2). Тоді, використовуючи формули для обчислення скалярного добутку і модулів векторів через їх координати, вище вираз можна переписати у вигляді:
α = arccos(|a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2| / (√(a12 + b12 + c12) * √(a22 + b22 + c22)))
Модуль в чисельнику з’явився тому, щоб виключити значення тупих кутів.
Приклади вирішення задач на визначення кута перетину площин
Знаючи, як знайти кут між площинами, розв’яжемо наступну задачу. Дано дві площини, рівняння яких мають вигляд:
3 * x + 4 * y – z + 3 = 0;
-x – 2 * y + 5 * z +1 = 0
Чому дорівнює кут між площинами?
Щоб відповісти на запитання задачі, згадаємо, що коефіцієнти, які стоять при змінних в рівнянні площини загалом, є координатами вектора направляючого. Для зазначених площин маємо наступні координати їх нормалей:
n1(3; 4; -1);
n2(-1; -2; 5)
Тепер знайдемо скалярний добуток цих векторів і їх модулі, маємо:
(n1 * n2) = -3 -8 -5 = -16;
|n1| = √(9 + 16 + 1 ) = √26;
|n2| = √(1 + 4 + 25) = √30
Тепер можна підставити знайдені числа наведену в попередньому пункті формули. Отримуємо:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Отримане значення відповідає гострого кута перетину площин, зазначених в умові задачі.
Тепер розглянемо інший приклад. Дано дві площини:
x + y -3 = 0;
3 * x + 3 * y + 8 = 0
Перетинаються вони? Випишемо значення координат їх направляючих векторів, порахуємо скалярний добуток їх і модулі:
n1(1; 1; 0);
n2(3; 3; 0);
(n1 * n2) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n1| = √2;
|n2| = √18
Тоді кут перетину дорівнює:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0o.
Цей кут говорить про те, що площини не перетинаються, а є паралельними. Той факт, що вони не збігаються один з одним перевірити просто. Візьмемо для цього довільну точку, що належить до першої з них, наприклад, P(0; 3; 2). Підставимо її координати у друге рівняння, отримаємо:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
Тобто точка P належить тільки першої площини.
Таким чином, дві площини є паралельними, коли такими будуть їх нормалі.
Площина та пряма
У разі розгляду взаємного розташування між площиною і прямою існує дещо більше варіантів, ніж з двома площинами. Цей факт пов’язаний з тим, що пряма є одновимірним об’єктом. Пряма і площина можуть бути:
- взаємно паралельними, в цьому випадку площина не перетинає пряму;
- остання може належати площині, при цьому вона також буде паралельна їй;
- обидва об’єкти можуть перетинатися під деяким кутом.
Розглянемо спочатку останній випадок, оскільки він вимагає введення поняття про кут перетину.
Пряма і площина, значення кута між ними
Якщо пряма перетинає площину, то вона називається похилою по відношенню до неї. Точку перетину прийнято називати основою похилої. Щоб визначити між цими геометричними об’єктами кут, необхідно опустити з будь-якої точки прямої перпендикуляр на площину. Тоді точка перетину перпендикуляра з площиною і місце перетину з нею похилій утворюють пряму. Остання називається проекцією прямої вихідної на цю площину. Гострий кут між прямою і проекцією її є шуканим.
Кілька заплутане визначення кута між площиною і похилій прояснить малюнок нижче.
Тут кут ABO – це кут між AB прямою і площиною.
Щоб записати формулу для нього, розглянемо приклад. Нехай є пряма і площина, що описуються рівняннями:
(x ; y ; z ) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Розрахувати потрібний кут для цих об’єктів можна легко, якщо знайти скалярний добуток між напрямними векторами прямої і площини. Отриманий гострий кут слід відняти від 90o, тоді він виходить між прямою і площиною.
Малюнок вище демонструє описаний алгоритм знаходження даного кута. Тут β – це кут між нормаллю і прямий, а α – між прямою і її проекцією на площину. Видно, що їх сума дорівнює 90o.
Вище була представлена формула, що дає відповідь на питання, як знайти кут між площинами. Тепер наведемо відповідний вираз для випадку прямої і площини:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Модуль у формулі дозволяє обчислювати тільки гострі кути. Функція арксинуса з’явилася замість арккосинуса завдяки використанню відповідної формули приведення між тригонометричними функціями (cos(β) = sin(90o-β) = sin(α)).
Завдання: площина перетинає пряму
Тепер покажемо, як працювати з наведеною формулою. Вирішимо завдання: необхідно обчислити кут між віссю y і площиною, заданої рівнянням:
y – z + 12 = 0
Ця площина показана на малюнку.
Видно, що вона перетинає осі y і z у точках (0; -12; 0) і (0; 0; 12) відповідно і паралельна осі x.
Направляючий вектор прямої y має координати (0; 1; 0). Вектор, який перпендикулярний до заданої площини, характеризується координатами (0; 1; -1). Застосовуємо формулу для кута перетину прямої і площини, отримуємо:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o
Завдання: паралельна площині пряма
Тепер вирішимо аналогічну попередній завдання, питання якої поставлено інакше. Відомі рівняння площини і прямої:
x + y – z – 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Необхідно з’ясувати, чи є ці геометричні об’єкти паралельними один одному.
Маємо два вектори: направляючий прямої дорівнює (0; 2; 2) і направляючий площини дорівнює (1; 1; -1). Знаходимо їх скалярний добуток:
0 * 1 + 1 * 2 – 1 * 2 = 0
Отриманий нуль говорить про те, що кут між цими векторами дорівнює 90 o, що доводить паралельність прямої і площини.
Тепер перевіримо, чи є ця пряма тільки паралельної або ж ще і лежить в площині. Для цього слід вибрати довільну точку на прямій і перевірити, чи належить вона площині. Наприклад, візьмемо λ = 0, тоді точка P(1; 0; 0) прямий належить. Підставляємо в рівняння площини P:
1 – 3 = -2 ≠ 0
Точка P не належить площині, а значить, і вся пряма в ній не лежить.
Де важливо знати кути між розглянутими геометричними об’єктами?
Наведені вище формули та приклади розв’язання задач являють собою не тільки теоретичний інтерес. Вони часто застосовуються для визначення важливих фізичних величин реальних об’ємних фігур, наприклад призми або піраміди. Важливо вміти визначити кут між площинами при розрахунку обсягів фігур та площ їх поверхонь. При цьому, якщо у випадку прямої призми можна не використовувати ці формули для визначення зазначених величин, то для будь-якого виду піраміди їх застосування виявляється неминучим.
Нижче розглянемо приклад використання викладеної теорії для визначення кутів піраміди з квадратною основою.
Піраміда та її кути
Нижче малюнок демонструє піраміду, в основі якої лежить квадрат зі стороною а. Висота фігури становить h. Потрібно знайти два кути:
- між бічною поверхнею і підставою;
- між бічним ребром і підставою.
Щоб вирішити поставлене завдання, спочатку слід ввести систему координат і визначити параметри відповідних вершин. На малюнку показано, що початок координат збігається з точкою у центрі квадратного підстави. У цьому випадку площину підстави описується рівнянням:
z = 0
Тобто для будь-яких x і y значення третьої координати завжди дорівнює нулю. Бічна площину ABC перетинає вісь z в точці B(0; 0; h), а вісь y у точці з координатами (0; a/2; 0). Вісь x вона не перетинає. Це означає, що рівняння площини ABC можна записати у вигляді:
y / (a / 2) + z / h = 1 або
2 * h * y + a * z – a * h = 0
Вектор AB є бічним ребром. Координати його початку і кінця дорівнюють: A(a/2; a/2; 0) і B(0; 0; h). Тоді координати самого вектора:
AB(-a/2; -a/2; h)
Ми знайшли всі необхідні рівняння і вектора. Тепер залишається скористатися розглянутими формулами.
Розрахуємо спочатку в піраміді кут між площинами основи і бічної сторони. Відповідні нормальні вектора дорівнюють: n1(0; 0; 1) і n2(0; 2*h; a). Тоді кут складе:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a2 ))
Кут між площиною і ребром AB буде дорівнює:
β = arcsin(h / √(a2 / 2 + h2 ))
Залишається підставити конкретні значення сторони підстави a і висоти h, щоб отримати необхідні кути.
