Квадратні рівняння часто з’являються в ряді задач з математики і фізики, тому вміти їх вирішувати має кожен школяр. У цій статті докладно розглядаються основні методи розв’язування квадратних рівнянь, а також наводяться приклади їх використання.
Яке рівняння називається квадратним
В першу чергу відповімо на питання цього пункту, щоб краще розуміти, про що піде мова в статті. Отже, квадратне рівняння має наступний загальний вигляд: c + b*x+a*x2=0, де a, b, c – деякі числа, які називаються коефіцієнтами. Тут a≠0 – це обов’язкова умова, в іншому випадку зазначене вироджується в рівняння лінійне. Інші коефіцієнти (b, c) можуть приймати абсолютно будь-які значення, включаючи нуль. Так, вирази типу a*x2=0, де b=0 і c=0 або c+a*x2=0,де b=0, або b*x+a*x2=0, де c=0 – це теж квадратні рівняння, які називають неповними, оскільки у них або лінійний коефіцієнт b дорівнює нулю, або нульовим є вільний член c, або вони обидва зануляются.
Рівняння, в якому a=1, називають наведеним, тобто воно має вигляд: x2 + з/a + (b/a)*x =0.
Рішення квадратного рівняння полягає в знаходженні таких значень x, які задовольняють його рівності. Ці значення називаються коренями. Оскільки розглянуте рівняння – це вираз другого ступеня, то це означає, що максимальне число його коріння не може перевищувати двох.
Які методи розв’язання квадратних рівнянь існують
У загальному випадку існує 4 методу рішення. Нижче перераховуються їх назви:
- Розкладання на множники.
- Додаток до квадрата.
- Використання відомої формули (через дискриминант).
- Спосіб вирішення геометричний.
Як зрозуміло з наведеного списку, перші три методу є алгебраїчними, тому вони використовуються частіше, ніж останній, який передбачає побудову графіка функції.
Існує ще один спосіб вирішення за теоремою Вієта квадратних рівнянь. Його можна було б включити 5-м у списку вище, однак, це не зроблено, оскільки теорема Вієта є простим наслідком 3-го методу.
Далі в статті розглянемо докладніше названі способи вирішення, а також наведемо приклади їх використання для знаходження коренів конкретних рівнянь.
Метод №1. Розкладання на множники
Для цього методу в математиці квадратних рівнянь існує красива назва: факторизація. Суть цього способу полягає в наступному: необхідно квадратне рівняння подати у вигляді добутку двох членів (виразів), яка повинна дорівнювати нулю. Після такого представлення можна скористатися властивістю твору, який буде дорівнює нулю тільки тоді, коли один або декілька (всі) його членів є нульовими.
Тепер розглянемо послідовність конкретних дій, які потрібно виконати, щоб знайти корені рівняння:
- Перекинути всі члени в одну частину виразу (наприклад, у ліву) так, щоб в іншій його частині (правою) залишився лише 0.
- Уявити суму членів в одній частині рівності у вигляді добутку двох лінійних рівнянь.
- Прирівняти кожне з лінійних виражень до нуля і вирішити їх.
Як видно, алгоритм факторизації є досить простим, тим не менш, у більшості школярів виникають труднощі під час реалізації 2-го пункту, тому розглянемо його докладніше.
Щоб здогадатися, які 2-а лінійних вираження при множенні їх один на одного дадуть шукане квадратне рівняння, необхідно запам’ятати два простих правила:
- Лінійні коефіцієнти двох лінійних виразів при множенні їх один на одного повинні давати перший коефіцієнт квадратного рівняння, тобто число a.
- Вільні члени лінійних виразів при їх творі повинні давати число c шуканого рівняння.
Після того, як підібрані усі числа множників, слід виконати їх перемножування, і якщо вони дають шукане рівняння, тоді переходити до пункту 3 у викладеному вище алгоритмі, в іншому випадку слід змінити множники, але робити це потрібно так, щоб наведені правила завжди виконувалися.
Приклад рішення методом факторизації
Покажемо наочно, як алгоритм розв’язання квадратного рівняння скласти і знайти невідомі коріння. Нехай дано довільний вираз, наприклад, 2*x-5+5*x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдемо до його вирішення, дотримуючись послідовність пунктів від 1-го до 3-х, які викладені в попередньому пункті статті.
Пункт 1. Перенесемо всі члени в ліву частину і складемо їх у класичної послідовності для квадратного рівняння. Маємо наступне рівняння: 2*x+(-8)+x2=0.
Пункт 2. Розбиваємо на твір лінійних рівнянь. Оскільки a=1, а=-8, то підберемо, наприклад, такий твір (x-2)*(x+4). Воно задовольняє викладеним у пункті вище правилами пошуку передбачуваних множників. Якщо розкрити дужки, то отримаємо: -8+2*x+x2, тобто виходить точно таке ж вираження, як в лівій частині рівняння. Це означає, що ми правильно вгадали множники, і можна переходити до 3-го пункту алгоритму.
Пункт 3. Прирівнюємо кожен множник нулю, отримуємо: x=-4 і x=2.
Якщо виникають які-небудь сумніви в отриманому результаті, то рекомендується виконати перевірку, підставляючи знайдені коріння у вихідне рівняння. В даному випадку маємо: 2*2+22-8=0 і 2*(-4)+(-4)2-8=0. Коріння знайдені правильно.
Таким чином, методом факторизації ми знайшли, що задане рівняння два кореня різних має: 2 і -4.
Метод №2. Доповнення до повного квадрата
В алгебрі квадратних рівнянь метод множників не завжди може використовуватися, оскільки у разі дробових значень коефіцієнтів квадратного рівняння виникають складності в реалізації пункту 2 алгоритму.
Метод повного квадрата, в свою чергу, є універсальним і може застосовуватися для квадратних рівнянь будь-якого типу. Суть його полягає у виконанні наступних операцій:
- Члени рівняння, що містять коефіцієнти a і b, необхідно перекинути в одну частину рівності, а вільний член c – в іншу.
- Далі, слід частини рівності (праву і ліву) розділити на коефіцієнт a, тобто представити рівняння в наведеному вигляді (a=1).
- Суму членів з коефіцієнтами a і b представити у вигляді квадрата лінійного рівняння. Оскільки a=1, то лінійний коефіцієнт буде дорівнювати 1, що стосується вільного члена рівняння лінійного, то він дорівнює повинен бути половині лінійного коефіцієнта наведеного квадратного рівняння. Після того, як складено квадрат лінійного вираження, необхідно в праву частину рівності, де знаходиться вільний член, додати відповідне число, яке виходить при розкритті квадрата.
- Взяти квадратний корінь зі знаками “+” і “-” і вирішити отримане вже рівняння лінійне.
Описаний алгоритм може на перший погляд бути сприйнятий, як досить складний, однак, на практиці його реалізувати простіше, ніж метод факторизації.
Приклад розв’язання за допомогою доповнення до повного квадрата
Наведемо приклад квадратного рівняння для тренування рішення методом викладених у попередньому пункті. Нехай дано рівняння квадратне -10 – 6*x+5*x2 = 0. Починаємо вирішувати його, слідуючи описаним вище алгоритмом.
Пункт 1. Використовуємо метод перекидання при розв’язуванні квадратних рівнянь, отримуємо: – 6*x+5*x2 = 10.
Пункт 2. Наведений вигляд цього рівняння виходить шляхом ділення на число 5 кожного його члена (якщо обидві частини рівності поділити чи помножити на однакове число, то рівність збережеться). В результаті перетворень отримаємо: x2 – 6/5*x = 2.
Пункт 3. Половина від коефіцієнта – 6/5 дорівнює -6/10 = -3/5, використовуємо це число для складання повного квадрата, отримуємо: (-3/5+x)2. Розкриємо його і отриманий вільний член слід відняти з лівої частини рівності, щоб задовольнити вихідного увазі квадратного рівняння, що еквівалентно його додавання в праву частину. В результаті отримуємо: (-3/5+x)2 = 59/25.
Пункт 4. Обчислюємо квадратний корінь з позитивним і негативним знаками і знаходимо корені: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два знайдених кореня мають значення: x1 = (√59+3)/5 і x1 = (3-√59)/5.
Оскільки проведені обчислення пов’язані з корінням, то велика ймовірність допустити помилку. Тому рекомендується перевірити правильність коренів x2 і x1. Отримуємо для x1: 5*((3+√59)/5)2-6*(3+√59)/5 – 10 = (9+59+6*√59)/5 – 18/5 – 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Підставляємо тепер x2: 5*((3-√59)/5)2-6*(3-√59)/5 – 10 = (9+59-6*√59)/5 – 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
Таким чином, ми показали, що знайдені корені рівняння є дійсними.
Метод №3. Застосування відомої формули
Цей метод розв’язування квадратних рівнянь є, мабуть, самим простим, оскільки він полягає в подставлении коефіцієнтів у відому формулу. Для його використання не потрібно замислюватися про складання алгоритмів рішення, досить запам’ятати тільки одну формулу. Вона наведена на малюнку вище.
У цій формулі підкореневий вираз (b2-4*a*c) називається дискриминантом (D). Від його значення залежить те, які корені вийдуть. Можливі 3 випадки:
- D>0, тоді кореня рівняння має два дійсних і різних.
- D=0, тоді виходить корінь один, який можна обчислити з виразу x = -b/(a*2).
- D<0, тоді виходить два різних уявних кореня, які представляються у вигляді комплексних чисел. Наприклад, число 3-5*i є комплексним, при цьому уявна одиниця i задовольняє властивості: i2=-1.
Приклад рішення через обчислення дискримінанта
Наведемо приклад квадратного рівняння для тренування використання наведеної вище формули. Знайдемо коріння для -3*x2-6+3*x+4*x = 0. Для початку обчислимо значення дискримінанта, отримуємо: D = b2-4*a*c = 72-4*(-3)*(-6) = -23.
Оскільки отриманий D<0, отже, корені даного рівняння є комплексними числами. Знайдемо їх, підставивши знайдене значення D у наведену в попередньому пункті формулу (вона також представлена на фото вище). Отримаємо: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.
Метод №4. Використання графіка функції
Він також називається графічним методом розв’язування квадратних рівнянь. Слід сказати, що він застосовується, як правило, не кількісного, а якісного аналізу розглянутого рівняння.
Суть методу полягає в побудові графіка квадратичної функції y = f(x), який являє собою параболу. Потім, необхідно визначити, в яких точках перетинає вісь абсцис (X) парабола, вони і будуть корінням відповідного рівняння.
Щоб сказати, чи буде парабола перетинати вісь X, достатньо знати стан її мінімуму (максимуму) і напрям її гілок (вони можуть або зростати, або зменшуватись). Слід запам’ятати дві властивості цієї кривої:
- Якщо a>0 – гілки параболи спрямовані вгору, навпаки, якщо a<0, то вони йдуть вниз.
- Координата мінімуму (максимуму) параболи завжди дорівнює x = -b/(2*a).
Наприклад, необхідно визначити, чи має корені рівняння -4*x+5*x2+10 = 0. Відповідна параболи буде спрямована вгору, оскільки a=5>0. Її екстремум має координати: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5)2+10 = 9,2. Оскільки мінімум кривої лежить над віссю абсцис (y=9,2), то вона не перетинає останню ні при яких значеннях x. Тобто дійсних коренів наведене рівняння не має.
Теорема Вієта
Як вище було зазначено, ця теорема є наслідком методу №3, який заснований на застосуванні формули з дискриминантом. Суть теореми Вієта полягає в тому, що вона дозволяє пов’язати в рівність коефіцієнти рівняння та його корені. Отримаємо відповідні рівності.
Скористаємося формулою для обчислення коренів через дискриминант. Складемо два кореня, отримуємо: x1+x2 = -b/a. Тепер помножимо коріння один на одного: x1*x2, після ряду спрощень виходить число c/a.
Таким чином, для розв’язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта можна використовувати отримані два рівності. Якщо всі три коефіцієнта рівняння відомі, тоді корені можна знайти шляхом розв’язання відповідної системи з цих двох рівнянь.
Приклад використання теореми Вієта
Необхідно скласти квадратне рівняння, якщо відомо, що воно має вигляд x2+c = -b*x і коріння його дорівнюють 3 і -4.
Оскільки в розглянутому рівнянні a=1, то формули Вієта будуть мати вигляд: x2+x1 =-b і x2*x1= с. Підставляючи відомі значення коренів, отримуємо: b = 1 і c = -12. У підсумку відновлене рівняння квадратне наведене буде мати вигляд: x2-12 = -1*x. Можна підставити в нього значення коренів і переконатися, що рівність виконується.
Зворотне застосування теореми Вієта, тобто обчислення коренів по відомому виду рівняння, що дозволяє для невеликих цілих чисел a, b і c швидко (інтуїтивно) знаходити рішення.
