У фізиці розгляд завдань з обертовими тілами або системами, які знаходяться в рівновазі, здійснюється з використанням концепції “момент сили”. У цій статті буде розглянута формула моменту сили, а також її використання для вирішення певного типу завдань.
Момент сили у фізиці
Як було зазначено у вступі, в даній статті піде мова про системи, які можуть обертатися або навколо осі, або навколо точки. Розглянемо приклад такої моделі, зображеної на малюнку нижче.
Ми бачимо, що важіль сірого кольору закріплений на осі обертання. На кінці важеля є чорний кубик деякої маси, на який діє сила (червона стрілка). Інтуїтивно зрозуміло, що результатом впливу цієї сили буде обертання важеля навколо осі проти годинникової стрілки.
Моментом сили називається величина у фізиці, яка дорівнює векторному добутку радіуса, що з’єднує вісь обертання і точку прикладання сили (зелений вектор на малюнку), і самій зовнішній силі. Тобто формула моменту сили відносно осі записується наступним чином:
M = r * F
Результатом цього твору буде вектор M. Напрямок його визначають, виходячи зі знання векторів-множників, тобто r і F. Згідно з означенням векторного добутку, M повинен бути перпендикулярний площині, утвореної векторами r і F, і спрямований у відповідності з правилом правої руки (якщо чотири пальці правої руки розташувати вздовж першого умножаемого вектора в напрямку до кінця другого, то відставлений вгору великий палець вкаже, куди спрямований шуканий вектор). На малюнку можна бачити, куди спрямований вектор M (синя стрілка).
Скалярна форма запису M
На малюнку в попередньому пункті сила (червона стрілка) діє на важіль під кутом 90 o. У загальному випадку вона може бути додана під будь-яким кутом. Розглянемо зображення нижче.
Тут ми бачимо, що на важіль L сила F вже діє під деяким кутом Φ. Для цієї системи формула моменту сили відносно точки (показана стрілкою) в скалярному вигляді прийме форму:
M = L * F * sin(Φ)
З виразу випливає, що момент сили M буде тим більше, чим ближче напрямок дії сили F до кута 90 o по відношенню до L. Навпаки, якщо F діє вздовж L, то sin(0) = 0, і сила не створює жодного моменту (M = 0).
При розгляді моменту сили в скалярної формі часто користуються поняттям “важеля сили”. Ця величина являє собою відстань між віссю (точкою обертання) і вектором F. Застосовуючи це визначення до малюнка вище, можна сказати, що d = L * sin(Φ) – це важіль сили (рівність випливає з визначення тригонометричної функції “синус”). Через важіль сили формулу для моменту M можна переписати так:
M = d * F
Фізичний зміст величини M
Розглянута фізична величина визначає здатність зовнішньої сили F надавати обертальний вплив на систему. Щоб привести тіло в обертальний рух, йому необхідно повідомити деякий момент M.
Яскравим прикладом цього процесу є відкривання або закривання дверей в кімнату. Взявшись за ручку, людина докладає зусилля і повертає двері на петлях. Кожен зможе це зробити. Якщо ж спробувати відкрити двері, впливаючи на неї поблизу петель, то потрібно докласти великі зусилля, щоб зрушити її з місця.
Іншим прикладом є відкручування гайки ключем. Чим коротше буде цей ключ, тим важче виконати поставлене завдання.
Зазначені особливості демонструє формула моменту сили через плече, яка була наведена в попередньому пункті. Якщо M вважати постійною величиною, то чим менше d, тим більшу F слід докласти для створення заданого моменту сили.
Кілька діючих сил у системі
Вище були розглянуті випадки, коли на систему, здатну до обертання, діє лише одна сила F, але як бути, коли таких сил кілька? Дійсно, ця ситуація є більш частою, оскільки на систему можуть діяти сили різної природи (гравітаційна, електрична, тертя, механічна та інші). У всіх цих випадках результуючий момент сили M може бути отриманий за допомогою векторної суми всіх моментів Mi, тобто:
M = ∑i(Mi), де i – номер сили Fi
Властивості адитивності моментів випливає важливий висновок, який отримав назву теореми Вариньона, названої так за прізвищем математика кінця XVII – початку XVIII століття – француза П’єра Вариньона. Вона говорить: “Сума моментів всіх сил, які чинять вплив на цю систему, може бути представлена у вигляді моменту однієї сили, яка дорівнює сумі всіх інших і прикладена до деякій точці”. Математично теорему можна записати так:
∑i(Mi) = M = d * ∑i(Fi)
Ця важлива теорема часто використовується на практиці для вирішення завдань на обертання і рівновагу тел.
Здійснює роботу момент сили?
Аналізуючи наведені формули у скалярному або векторному вигляді, можна прийти до висновку, що величина M – це деяка робота. Дійсно, її розмірність дорівнює Н*м, що в СІ відповідає джоулю (Дж). Насправді момент сили – це не робота, а лише величина, яка здатна її здійснити. Щоб це сталося, необхідно наявність кругового руху в системі і тривалого у часі дії M. Тому формула роботи моменту сили записується в наступному вигляді:
A = M * θ
У цьому виразі θ – це кут, на який було вироблено обертання моментом сили M. В результаті одиницю роботи можна записати як Н*м*радий або ж Дж*радий. Наприклад, значення 60 Дж*радий говорить про те, що при повороті на 1 радіан (приблизно 1/3 кола) створює момент M сила F зробила роботу в 60 джоулів. Цю формулу часто використовують при рішенні задач в системах, де діють сили тертя, що буде показано нижче.
Момент сили і момент імпульсу
Як було показано, вплив на систему моменту M призводить до появи в ній обертального руху. Останнє характеризується величиною, яка отримала назву “момент імпульсу”. Його можна обчислити, використовуючи формулу:
L = I * ω
Тут I – це момент інерції (величина, яка грає таку ж роль при обертанні, що і маса при лінійному русі тіла), ω – кутова швидкість, вона пов’язана з лінійною швидкістю формулою ω = v/r.
Обидва моменту імпульсу і сили) пов’язані між собою наступним виразом:
M = I * α, де α = dω / dt – кутове прискорення.
Наведемо ще одну формулу, яка важлива для розв’язання завдань на роботу моментів сил. З допомогою цієї формули можна обчислити кінетичну енергію обертового тіла. Вона виглядає так:
Ek = 1/2 * I * ω2
Далі наведемо два завдання з рішеннями, де покажемо, як користуватися розглянутими фізичними формулами.
Рівновага декількох тіл
Перша задача пов’язана з рівновагою системи, в якій діють кілька сил. На малюнку нижче наведена система, на яку діють три сили. Необхідно розрахувати, якою маси предмет необхідно підвісити до цього важелю і в якій точці це слід зробити, щоб ця система перебувала в рівновазі.
З умови задачі можна зрозуміти, що для її вирішення слід скористатися теоремою Вариньона. На першу частину задачі можна відповісти одразу, оскільки вага предмета, які слід підвісити до важеля, буде дорівнює:
P = F1 – F2 + F3 = 20 – 10 + 25 = 35 Н
Знаки тут обрані з урахуванням того, що сила, яка обертає важіль проти годинникової стрілки, створює негативний момент.
Положення точки d, куди слід підвісити цю вагу, обчислюється за формулою:
M1 – M2 + M3 = d * P = 7 * 20 – 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м
Зазначимо, що з допомогою формули моменту сили тяжіння ми вирахували еквівалентну величину M тієї, яку створюють три сили. Щоб система перебувала в рівновазі, необхідно підвісити тіло вагою 35 М в точці 4,714 м від осі з іншого боку важеля.
Завдання з рухомим диском
Рішення наступної задачі грунтується на використанні формули моменту сили тертя і кінетичної енергії тіла обертання. Завдання: даний диск радіуса r = 0,3 метра, який обертається зі швидкістю ω = 1 рад/с. Необхідно розрахувати, яку відстань він здатний пройти по поверхні, якщо коефіцієнт тертя кочення дорівнює μ = 0,001.
Цю задачу найлегше вирішити, якщо скористатися законом збереження енергії. Ми маємо початкової кінетичної енергією диска. Коли він почне котитися, то вся ця енергія витрачається на нагрівання поверхні за рахунок дії сили тертя. Прирівнюючи обидві величини, отримаємо вираз:
I * ω2/2 = μ * N/r * r * θ
Перша частина формули – це кінетична енергія диска. Друга частина – це робота моменту сили тертя F = μ * N/r, прикладене до краю диска (M=F * r).
Враховуючи, що N = m * g і I = 1/2m * r2, обчислюємо θ:
θ = m * r2 * ω2/(4 * μ * m * g) = r2 * ω2/(4 * μ *g) = 0,32 * 12/(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 радий
Оскільки 2pi радіан відповідають довжині 2pi * r, тоді отримуємо, що шукана відстань, яку пройде диск, одно:
s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м або близько 69 см
Відзначимо, що на даний результат маса диска ніяк не впливає.
