Якщо сказати просто і коротко, то область визначення – це ті значення, які може приймати яка-небудь функція. Для того щоб до кінця досліджувати цю тему, потрібно поетапно розібрати наступні пункти і поняття. Для початку давайте розберемося з визначенням функції та історією його появи.
Що таке функція
Всі точні науки надають нам безліч прикладів, коли розглянуті змінні якимось чином залежать одна від одної. Наприклад, щільність речовини повністю визначається його масою та об’ємом. Тиск ідеального газу при постійному обсязі варіюється разом з температурою. Ці приклади об’єднує той факт, що всі формули мають залежності між змінними, які і називаються функціональними.
Функція – це поняття, що виражає залежність однієї величини від іншої. Має вигляд y = f(x), де у – значення функції, яка залежить від х – аргумент. Таким чином, можна сказати, що у – змінна, залежна від значення х. Значення, які може приймати х, у сукупності складають область визначення заданої функції (D(y) або D(f)), а відповідно, значення складають безліч значень функції E(f) або E(y)). Бувають випадки, коли функція задана якоюсь формулою. В такому випадку область визначення складається із значення таких змінних, при якому запис з формулою має сенс.
Є співпадаючі або однакові функції. Це дві опції, в яких рівні області допустимих значень, а також значення самої функції дорівнюють при всіх однакових аргументах.
Багато законів точних наук називаються аналогічно ситуацій у реальному житті. Є такий цікавий факт також і про математичні функції. Існує теорема про межу функції, “затиснутою” між двома іншими, що мають однаковий межа, – про двох поліцейських. Пояснюють її так: раз вже два поліцейських ведуть між собою укладеного в камеру, то злочинець змушений туди йти, і вибору у нього просто немає.
Історична довідка про функції
Поняття функції не відразу стало остаточним і точним, воно зазнало довгий шлях становлення. Спочатку в роботі Ферма «Введення та вивчення плоских і тілесних місць», яку опублікували в кінці 17-го століття, говорилося наступне:
Всякий раз, коли в заключному рівнянні є дві невідомі величини, в наявності є місце.
В цілому ця праця говорить про функціональної залежності та її матеріальному зображенні (місце = лінія).
Також приблизно в цей же час Рене Декарт вивчав лінії за їх рівняннями у своїй роботі “Геометрія” (1637 рік), де знову ж простежувався факт залежності двох величин один від одного.
Сама згадка про термін “функція” з’явилося лише в кінці 17-го століття у Лейбніца, але не в сучасній його інтерпретації. У своїй науковій праці він вважав, що функція – це різні відрізки, пов’язані з якоюсь кривою лінією.
Але ось вже в 18-му столітті функцію почали визначати більш вірно. Бернуллі писав наступне:
Функція — це величина, складена із змінної і постійної.
Роздуми Ейлера були близькі до цього:
Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійних кількостей.
***
Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функціями друге.
Графік функції
Графік функції складають всі точки, що належать осей координатної площини, абсциси яких приймають значення аргументу, а значення функції в цих точках є ординатами.
Область визначення функції безпосередньо пов’язана з її графіком, тому що якщо які-небудь абсциси виключаються областю допустимих значень, то потрібно малювати порожні точки на графіку або ж малювати графік в певних межах. Наприклад, якщо береться графік виду y = tgx, то з області визначення виключається значення x = pi/2 +pi*n, n∉R, у випадку з графіком тангенса потрібно намалювати вертикальні лінії паралельно осі Оу (вони називаються асимптоти), що проходять через точки ±pi/2.
Будь-грунтовні і ретельні дослідження функцій становлять великий розділ математики, який називається математичним аналізом. У простій математиці теж зачіпають елементарні питання, що стосуються функцій, наприклад побудова простого графіка і встановлення деяких основних властивостей функції.
Чим може бути задана функція
Функція може:
- бути формулою, наприклад: y = cos x;
- задаватися будь-якої таблиці з пар виду (х; у);
- відразу мати графічний вигляд, для цього пари з минулого пункту виду (х; у) повинні бути зображені на осях координат.
Будьте уважні при вирішенні деяких завдань високого рівня, практично будь-який вираз можна розглядати як функцію щодо будь-якого аргументу значення функції y (x). Знайти область визначення в таких завданнях може стати ключем до вирішення.
Для чого потрібна область визначення?
Перше, що потрібно знати про функції для її вивчення або побудувати, – це її область визначення. Графік повинен містити тільки ті точки, в яких функція може існувати. Область визначення (х) може також називатися областю допустимих значень (скорочено ОДЗ).
Щоб правильно і швидко побудувати графік функцій, вам необхідно знати область визначення даної функції, тому що від неї залежить зовнішній вигляд графіка і вірність побудови. Наприклад, для побудови функції y = √x потрібно знати, що х може приймати тільки позитивні значення. Тому будується тільки в першій координатній чверті.
Область визначення на прикладі елементарних функцій
У своєму арсеналі математика має малу кількість простих, визначених функцій. У них обмежена область визначення. Рішення цього питання не викличе труднощів навіть у тому випадку, якщо перед вами виявилася так звана складна функція. Це всього лише комбінація з декількох простих.
- Отже, функція може бути дробової, наприклад: f(x) = 1/x. Таким чином, змінна (аргумент) знаходиться в знаменнику, а всім відомо, що знаменник дробу не може бути рівним 0, отже, аргумент може приймати будь-які значення, крім 0. Запис буде мати наступний вигляд: D(y) = x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Якщо в знаменнику буде якесь вираз із змінною, то потрібно вирішити рівняння відносно x і виключити значення, які звертають знаменник 0. Для схематичного зображення достатньо 5 грамотно вибраних точок. Графіком цієї функції буде гіпербола з вертикальною асимптотой, що проходить через точку (0; 0) і за сумісництвом осі Ох і Оу. Якщо графічне зображення буде перетинатися з асимптотами, то така помилка буде вважатися грубою.
- Але яка ж область визначення біля кореня? Область визначення у функції з подкоренным виразом (f(x) = √(2х + 5)), що містить змінну, також має свої нюанси (має відношення тільки до кореня парному ступеня). Так як арифметичний корінь є позитивним або рівним 0 виразом, то підкореневий вираз має бути більшим або рівним 0, вирішуємо таке нерівність: 2х + 5 ≥ 0, х ≥ -2,5, отже, область визначення даної функції: D(y) = x ∈ (-2,5; +∞). Графік являє собою одну з гілок параболи, обернутий на 90 градусів, що знаходиться в першій координатній чверті.
- Якщо маємо справу з логарифмічною функцією, то слід пам’ятати, що діє обмеження щодо заснування логарифма і вирази під знаком логарифма, знайти область визначення у цьому випадку можна наступним чином. Маємо функцію: y = loga(x + 7), вирішуємо нерівність: х + 7 > 0, х > -7. Тоді область визначення цієї функції – D(y) = x ∈ (-7; +∞).
- Також звертайте уваги на тригонометричні функції виду y = tgx і y = ctgx, так як y = tgx = sinx/cos/x і y = ctgx = cosx/sinx, отже, треба виключити значення, при яких знаменник може бути дорівнює нулю. Якщо ви знайомі з графіків тригонометричних функцій, розібратися в їх області визначення – це проста задача.
Чим відрізняється робота зі складними функціями
Пам’ятайте кілька основних правил. Якщо працюємо зі складною функцією, то не потрібно щось вирішувати, спрощувати, додавати дроби, приводити до найменшого спільного знаменника і витягувати коріння. Ми повинні досліджувати дану функцію, тому що різні (навіть тотожні) операції можуть змінити область визначення функції, що призведе до отримання невірної відповіді.
Наприклад, маємо складну функцію: y = (x2 – 4)/(x – 2). Ми не можемо скоротити чисельник і знаменник дробу, так як це можливо, тільки якщо х ≠ 2, а це і є завданням пошуку області визначення функції, тому не розкладаємо на множники чисельник і не вирішуємо ніяких нерівностей, адже значення, при якому функція не існує, видно неозброєним поглядом. В даному випадку х не може приймати значення 2, так як знаменник не може звертатися до 0, запис буде виглядати так: D(y) = x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Взаємно-зворотні функції
Для початку варто сказати, що функція може стати оборотної тільки на проміжку зростання або зменшення. Для того, щоб знайти обернену функцію, потрібно в запису поміняти місцями х і у і розв’язати рівняння відносно х. Області визначення і області значень просто міняються місцями.
Головна умова зворотності – монотонний проміжок функції, якщо функція має проміжки зростання та спадання, то можна скласти обернену їй функцію якого-небудь одного проміжку (зростаючого або спадного).
Наприклад, для експоненційної функції y = ex взаємо-зворотній буде натуральна логарифмічна y = logea = lna. Для тригонометричних це будуть функції з приставкою arc-: y = sinx та y = arcsinx і так далі. Графіки будуть розташовуватися симетрично по відношенню до деяких осях або асимптотам.
Висновки
Пошук області допустимих значень зводиться до дослідження графіка функції (якщо він є), запису і виконання необхідної конкретної системи нерівностей.
Так, ця стаття допомогла вам зрозуміти, для чого потрібна область визначення функції і як її знайти. Сподіваємося, що вона допоможе вам добре розбиратися в базовому шкільному курсі.
