Важливою темою, що вивчається у фізиці, є проблема переміщення тіл у просторі. Вони можуть рухатися по прямолінійним і криволінійним траєкторіям. Одним з найпростіших видів є переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі. Розглянемо в статті.
Механічний рух тіл
Питання зміни просторових координат в процесі переміщення об’єктів цікавить людей з давніх часів. Так, давньогрецький філософ Архімед вважав, що рух не є природною формою існування навколишніх предметів. Дійсно, будь-який кинутий предмет, зрештою, зупиняється. Архімед не знав про сили тертя, тому вважав, що істинним станом усіх тіл є спокій. Такої точки зору дотримувався і інший філософ Античної Греції, Зенон, який у своїх знаменитих парадокси доводив, що рух є ілюзією, і насправді не існує.
Тільки з приходом Нового часу теоретичне вивчення питання руху вийшло на наступний рівень. Важливий внесок у дослідження вніс італієць Галілео Галілей. Перший закон Ньютона в дійсності сформулював саме він. У своїх працях він зазначає, що всяке тіло буде зберігати незмінними характеристики свого руху, якщо на нього не діють ніякі зовнішні сили.
Теорію класичного механічного руху, виражену у коротких і зрозумілих математичних формулах, створив великий англійський учений Ісаак Ньютон. Зокрема, другий закон, що носить його ім’я, дає вичерпну інформацію для опису переміщення тіл у просторі.
Сила, прискорення і маса
Ці три фізичні величини входять у знамениту формулу, відому кожному школяреві. Запишемо її:
F = m*a
Тут сила F і прискорення a є векторними величинами, спрямованими в одну і ту ж сторону. Коефіцієнт пропорційності між ними – це маса тіла m.
Записана формула є основним виразом динаміки. Сила є причиною зміни характеристик руху будь-якого тіла. Відсутність зовнішньої сили, що надає дію на тіло, є достатньою умовою для того, щоб воно рухалося рівномірно і прямолінійно.
Далі в статті розглянемо формули прямолінійного равноускоренного руху, які описують лише результат діючих сил, тобто будемо вивчати переміщення тіл з точки зору кінематики.
Рух з постійною швидкістю
Перед тим, як розглядати переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі, слід вивчити його окремий випадок – рівномірне зміна координат у просторі. Прямолінійний рівномірний рух математично описується наступним рівнянням:
S = v*t
Тобто шлях, пройдений тілом, пропорційний часу, протягом якого воно знаходиться в русі, і швидкості переміщення. Оскільки швидкість вимірюється в системі СІ в метрах за секунду (м/с), а час в секундах (с), то шлях розраховують в метрах (м).
Особливістю даного виду руху є його прямолінійний характер, причому швидкість залишається постійною в кожен момент часу (v = const.). Якщо намалювати графіки швидкості і шляху в залежності від часу у двомірній прямокутній системі координат, то в першому випадку вийде горизонтальна (паралельна осі x лінія), а в другому випадку – пряма, що виходить з початку координат, має кутовий коефіцієнт, рівний швидкості (k = v).
Прямолінійне равноускоренное рух: прискорення і швидкість
Тепер припустимо, що перебуває в спокої тіло почала діяти сила. Згідно другого закону Ньютона, вона викличе прискорення тіла. Швидкість в цьому випадку буде змінюватися за законом:
v = a*t
Це вислів каже, що швидкість, на відміну від рівномірного руху, вже не буде величиною незмінною. Вона зростає з плином часу лінійно. У свою чергу, прискорення a є постійною величиною, тому рух називається рівноприскореним, тобто відбувається з постійним прискоренням.
Графік швидкості прямолінійного равноускоренного руху – це пряма лінія, яка виходить з початку координат. Кутовий її коефіцієнт k дорівнює прискорення a.
Равноускоренное рух з початковою швидкістю
Формула прямолінійного равноускоренного руху, записана для швидкості в попередньому пункті, не є загальною. Справа в тому, що при її складанні вважалося, що тіло в нульовий момент часу перебуває в спокої, тобто v = 0. Проте в загальному випадку воно може рухатися рівномірно зі швидкістю v0 ≠ 0, яка називається початковою. У цьому випадку попередню формулу для швидкості можна переписати так:
v = v0 + a*t
Описуване цим виразом рух можна представити наступним чином: тіло, на яке не діяли сили, рухалося зі швидкістю v0. Потім виникла зовнішня сила, спрямована так само, як і початкова швидкість, і призвела до появи прискорення a.
У записаному виразі час t відраховується від нуля. Тому при зображенні графіка швидкості в даному випадку вийде аналогічна пряма, паралельна прямій для равноускоренного руху без початкової швидкості. Однак вона буде починатися не з точки (0; 0), а з точки (0; v0).
Зауважимо, що якщо діюча на тіло сила буде направлена проти вектора початкової швидкості, то має місце равнозамедленное рух. У цьому випадку буде справедлива формула:
v = v0 – a*t
Графік цієї функції – лінія, яка прагне до нульового значення v від початкового значення v0. Точка, де графік перетинає вісь x (t), покаже час, коли тіло зупиниться. Це час дорівнює:
t = v0/a
Пройдений шлях
Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі означає, який шлях пройшло тіло за відомий проміжок часу. Обчислити цей шлях можна, якщо проінтегрувати за часом відповідні вирази для швидкості.
Шлях при прямолінійному рівноприскореному русі, коли початкова швидкість відсутня, визначається з виразу:
S = ∫t(v*dt) = a*t2/2
Оскільки прискорення a є постійним для даного типу руху, пройдений шлях зростає як квадрат від часу. Графік равноускоренного прямолінійного руху для шляху S являє собою праву гілка параболи, яка починається на початку координат.
Тепер отримаємо аналогічний вираз для шляху S, тільки врахуємо, що до отримання прискорення тіло вже мало швидкістю v0. Тоді формула для S прийме наступний вигляд:
S = ∫t(v*dt) = ∫t((v0 + a*t)*dt) = v0*t + a*t2/2.
Графіком цієї функції S(t) також буде парабола, однак її значення будуть лежати вище, ніж у попередньому випадку. Шлях при рівноприскореному русі, коли початкова швидкість не дорівнює нулю, можна розглядати як накладення двох видів руху: рівномірне і равноускоренное.
Нарешті, якщо тіло рухалося зі швидкістю v0, а потім почав сповільнювати свій рух з постійним прискоренням a, то формула для S прийме вигляд:
S = ∫t(v*dt) = ∫t((v0 – a*t)*dt) = v0*t – a*t2/2.
Нижче на малюнку показані графіки для записаних у цьому пункті формул для S.
У першому випадку мова йде про прискорений рух з деякою початковою швидкістю, третій графік – прискорений рух без початкової швидкості, а друга крива відповідає равнозамедленному руху. Видно, що дві криві 1 і 3 зростають постійно, але крива 2 виходить на постійне значення при деякому часі t. Це означає, що тіло зупинилося.
Приклади руху з прискоренням
У побуті можна навести ряд прикладів переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі. Наприклад, автомобіль, що набирає швидкість після старту, літак, який розганяється на злітній смузі, велосипедист, який прагне зупинитися (равнозамедленное).
Мабуть, найпоширенішим в природі рухом з постійним прискоренням є падіння тіл в гравітаційному полі нашої планети. Якщо знехтувати силою тертя повітря, то процес падіння поблизу поверхні Землі відбувається з прискоренням 9,81 м/с2.
Далі покажемо на прикладах розв’язання задач, як користуватися наведеними формулами.
Завдання з мотоциклістом
Відомо, що відстань між містами становить 50 км. Мотоцикліст подолав цю відстань за 1 годину. Відомо, що 1/3 цього часу він рухався з постійним прискоренням, а 2/3 часу його швидкість не змінювалася. Необхідно обчислити кінцеву швидкість, яку розвинув мотоцикліст.
Для розв’язання задачі скористаємося наступними рівняннями прямолінійного равноускоренного руху:
S = a*(1/3*t)2/2 + v*2/3*t;
v = a*1/3*t
Де t – час, що мотоцикліст провів у дорозі. Підставляючи другий вираз в перше, отримуємо значення прискорення a:
S = a*(1/3*t)2/2 + a*1/3*t*2/3*t =>
a = 18*S/(5*t2) = 18*50000/(5*3600*3600) ≈ 0,014 м/с
Рухаючись з цим прискоренням протягом 20 хвилин, мотоцикліст розвинув швидкість:
v = a*1/3*t = 0,014*1/3*3600 = 16,8 м/с або близько 60,5 км/год
Завдання з кинутим вгору м’ячем
М’яч кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 10 м/с. Необхідно обчислити, на яку висоту він підніметься.
Мова йде про рівносповільненому русі з початковою швидкістю v0. Якщо позначити максимальну висоту підйому h, тоді для неї можна записати формулу:
h = v0*t – g*t2/2.
Тут g = 9,81 м/с2, t – час підйому. Щоб його визначити, потрібно звернутися до умові, коли швидкість тіла v стане дорівнює нулю:
v = v0 – g*t = 0 =>
t = v0/g.
Підставляючи час t у формулу для h, отримуємо:
h = v02/g – g*v02/(2*g2) = v02/(2*g).
Підставляємо сюди значення швидкості з умови, отримуємо відповідь: h ≈ 5,1 метра. Цікаво відзначити, що висота підйому тіла від його маси не залежить.
