Поверхня і об’єм
Як було зазначено, площа поверхні фігури дорівнює сумі площ її основи і бічної поверхні. Формула для площі підстави збігається з такою для кола. Що стосується бічній поверхні, якщо уявити її у вигляді розгортки, то можна побачити, що вона являє сектор кола радіусом d. Тут d – довжина генератрисы. Розгортка конуса показана нижче.
Нехай висота конуса дорівнює h, а його радіус основи – r, тоді для площі поверхні розглянутої фігури справедливо наступне рівність:
S = pi*r2 + pi*r*√(r2 + h2).
Тут перший доданок відображає площа підстави, другий доданок – площа конічної поверхні. Можна помітити, що підкореневий вираз відповідає довжині генератрисы d. Формула для площі конічної поверхні виходить, якщо розглянути параметри круглого сектора, показаного на розгортці вище. Зауважимо, що довжина дуги цього сектора дорівнює директрисі підстави фігури.
Обсяг конуса довільного типу розраховується за наступною формулою:
V = 1/3*h*So.
Тут символом So позначена площа підстави. Зауважимо, що аналогічна формула і у об’єму піраміди. Це збіг не є випадковим, оскільки збільшення числа граней піраміди до нескінченності переводить її в конус.
Записана формула для випадку прямого круглого конуса набуває конкретний вид:
V = pi/3*h*r2 .
Тут множник pi*r2 площею підстави (кола).
Таким чином, обсяг прямого конуса, підставою якого є коло, дорівнює однієї третини обсягу циліндра, що має той же радіус й ту ж висоту.
