Геометрія є розділом математики, що вивчає структури в просторі і відношення між ними. У свою чергу вона також складається з розділів, і одним з них є стереометрія. Вона передбачає вивчення властивостей об’ємних фігур, які перебувають у просторі: куба, піраміди, кулі, конуса, циліндра та ін.
Конус – це тіло в евклідовому просторі, яке обмежує конічна поверхня і площина, на якій лежать кінці її утворюють. Його утворення відбувається в процесі обертання прямокутного трикутника навколо будь-якого з його катетів, тому він відноситься до тіл обертання.
Складові конуса
Розрізняють наступні види конусів: косий (чи похилий) і прямий. Косим називається той, вісь якого перетинається з центром його підстави не під прямим кутом. З цієї причини висота в такому конусі не збігається з віссю, так як вона є відрізком, який опущений з вершини тіла на площину його основи під кутом 90°.
Той циліндр, вісь якого розташована перпендикулярно до його основи, називається прямим. Вісь і висота в такому геометричному тілі збігаються з причини того, що вершина в ньому розташована над центром діаметра підстави.
Конус складається з наступних елементів:
- Кола, що є його основою.
- Бічній поверхні.
- Точки, що не лежить у площині основи, називається вершиною конуса.
- Відрізків, які з’єднують точки кола основи геометричного тіла і його вершину.
Всі ці відрізки є утворюють конуса. Вони нахилені до основи геометричного тіла, і у випадку прямого конуса їх проекції рівні, так як вершина равноотдалена від точок кола основи. Таким чином, можна зробити висновок, що в правильному (прямому) конусі утворюють рівні, тобто мають однакову довжину і утворюють однакові кути з віссю (або висотою) і підставою.
Так як в косому (або похилому) тілі обертання вершина зміщена по відношенню до центру площині підстави, що утворюють в такому тілі мають різну довжину і проекцію, оскільки кожна з них знаходиться на різній відстані від двох будь-яких точок кола основи. Крім того, кути між ними і висотою конуса також будуть відрізнятися.
Довжина утворюють в прямому конусі
Як написано раніше, висота в прямому геометричному тілі обертання перпендикулярна площині підстави. Таким чином, утворює, висота і радіус підстави створюють в конусі прямокутний трикутник.
Тобто, знаючи радіус основи і висоту, за допомогою формули з теореми Піфагора, можна обчислити довжину твірної, яка буде дорівнює сумі квадратів радіусу основи і висоти:
l2 = r2+ h2 або l = √r2 + h2
де l – твірна;
r – радіус;
h – висота.
Утворює в похилому конусі
Виходячи з того, що в косому, або похилому конусі утворюють мають не однакову довжину, розрахувати їх без додаткових побудов і обчислень не вийде.
Перш за все необхідно знати висоту, довжину осі і радіус підстави.
Маючи ці дані, можна розрахувати частина радіусу, що лежить між віссю і висотою, за формулою з теореми Піфагора:
r1= √k2 – h2
де r1 – це частина радіусу між віссю і висотою;
k – довжина осі;
h – висота.
В результаті складання радіуса (r) та його частини, що лежить між віссю і висотою (r1), можна дізнатися повну сторону прямокутного трикутника, сформованого твірної конуса, його висотою і частиною діаметру:
R = r + r1
де R – катет трикутника, утвореного заввишки, що утворює і частиною діаметра підстави;
r – радіус основи;
r1 – частина радіусу між віссю і висотою.
Користуючись тією ж формулою з теореми Піфагора, можна знайти довжину твірної конуса:
l = √h2+ R2
або, не виробляючи окремо розрахунок R, об’єднати дві формули в одну:
l = √h2 + (r + r1)2.
Незважаючи на те, прямий або косий конус і які ввідні дані, всі способи знаходження довжини утворюючої завжди зводяться до одного підсумку – використання теореми Піфагора.
Переріз конуса
Осьовим перерізом конуса називається площина, що проходить по його осі або висоті. У прямому конусі таке переріз являє собою рівнобедрений трикутник, в якому висотою трикутника є висота тіла, його сторонами виступають утворюють, а підстава – це діаметр основи. У рівносторонньому геометричному тілі осьовий переріз є рівностороннім трикутником, так як в цьому конусі діаметр підстави і утворюють рівні.
Площина осьового перерізу в прямому конусі є площиною її симетрії. Причиною цього є те, що його вершина знаходиться над центром його заснування, тобто площини осьового перерізу ділить конус на дві однакові частини.
Так як в похилому об’ємному тілі висота і вісь не збігаються, площина осьового перерізу може не включати в себе висоту. Якщо осьових перерізів в такому конусі можна побудувати безліч, так як для цього необхідно дотримуватися лише одна умова – воно повинно проходити тільки через вісь, то осьовий переріз площині, якій буде належати висота цього конуса, можна провести лише одне, тому що кількість умов збільшується, а, як відомо, дві прямі (разом) можуть належати тільки одній площині.
Площа перерізу
Згадане раніше осьовий переріз конуса являє собою трикутник. Виходячи з цього, його площу можна розрахувати за формулою площі трикутника:
S = 1/2 * d * h або S = 1/2 * 2r * h
де S – площа перерізу;
d – діаметр основи;
r – радіус;
h – висота.
У косому, або похилому конусі перетин по осі також є трикутником, тому в ньому площу перерізу розраховується аналогічно.
Обсяг
Оскільки конус є об’ємною фігурою в тривимірному просторі, то можна обчислити його об’єм. Об’ємом конуса називається число, яке характеризує це тіло в одиниці виміру обсягу, тобто в м3. Розрахунок не залежить від того, прямий він або косою (похилий), так як формули для цих двох видів тіл не відрізняються.
Як зазначено раніше, освіта прямого конуса відбувається внаслідок обертання прямокутного трикутника по одному з його катетів. Похилий ж, або косою конус утворюється інакше, оскільки його висота зміщена в бік від центру площині підстави тіла. Тим не менш такі відмінності в будові не впливають на методику розрахунку його обсягу.
Розрахунок обсягу
Формула будь-якого обсягу конуса виглядає наступним чином:
V = 1/3 * π * h * r2
де V – це обсяг конуса;
h – висота;
r – радіус;
π – константа, що дорівнює 3,14.
Для того щоб розрахувати об’єм конуса, необхідно мати дані про висоту і радіус підстави тіла.
Для розрахунку висоти тіла необхідно знати радіус основи і довжину його утворює. Оскільки радіус, висота і утворює об’єднуються в прямокутний трикутник, то висоту можна розрахувати за формулою з теореми Піфагора (a2+ b2= c2 або в нашому випадку h2+ r2= l2, де l – твірна). Висота при цьому буде розраховуватися шляхом витягу квадратного кореня з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета:
a = √c2 – b2
Тобто висота конуса дорівнює величині, отриманої після вилучення квадратного кореня з різниці квадрата довжини утворюючої і квадрата радіуса підстави:
h = √l2 – r2
Розрахувавши таким методом висоту і знаючи радіус його основи, можна обчислити об’єм конуса. Утворює при цьому відіграє важливу роль, оскільки служить допоміжним елементом у розрахунках.
Аналогічним чином, якщо відома висота тіла і довжина його утворює, можна дізнатися радіус його основи, витягуючи квадратний корінь із різниці квадрата утворює і квадрата висоти:
r = √l2 – h2
Після чого за тією ж формулою, що вказана вище, розрахувати обсяг конуса.
Обсяг нахиленого конуса
Так як формула об’єму конуса однакова для всіх видів тіла обертання, відмінність в його розрахунку становить пошук висоти.
Для того щоб дізнатися висоту нахиленого конуса, ввідні дані повинні включати довжину твірної, радіус основи і відстань між центром підстави і місцем перетину висоти тіла з площиною його заснування. Знаючи це, можна з легкістю розрахувати ту частину діаметра підстави, яка буде підставою прямокутного трикутника (утвореного заввишки, що утворює і площиною підстави). Після чого, знову використовуючи теорему Піфагора, провести розрахунок висоти конуса, а згодом і його обсягу.
