Вміння знаходити відстань між різними геометричними об’єктами важливо, коли виконуються розрахунки площі поверхні фігур та їх обсягів. У цій статті розглянемо питання про те, як знаходити від точки до прямої відстань у просторі і на площині.
Математичний опис прямий
Щоб зрозуміти, як знаходити відстань від точки до прямої, слід розібратися з питанням математичного завдання цих геометричних об’єктів.
З точкою все просто, вона описується набором координат, число яких відповідає мірності простору. Наприклад, на площині це дві координати в тривимірному просторі – три.
Що стосується одномірного об’єкта – прямий, то для її опису застосовують кілька видів рівнянь. Розглянемо лише два з них.
Перший вид називається векторним рівнянням. Нижче наведено вирази для прямих у тривимірному і двовимірному просторі:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x0; y0 ) + α × (a; b)
В цих виразах координати з нульовими індексами описують точку, через яку проходить задана пряма, набір координат (a; b; c) і (a; b) – це так звані вектора направляючі для відповідної прямої, α – це параметр, який може приймати будь-яке дійсне значення.
Векторне рівняння зручно в тому плані, що воно явно містить вектор напрямку прямої, координати якого можна використовувати при вирішенні завдань паралельності або перпендикулярності різних геометричних об’єктів, наприклад двох прямих.
Другий вид рівняння, який ми розглянемо для прямої, називається загальним. У просторі цей вид визначається загальними рівняннями двох площин. На площині ж він має наступну форму:
A × x + B × y + C = 0
Коли виконують побудову графіка, то його часто записують залежністю від ікси/игрека, тобто:
y = -A / B × x +(-C / B)
Тут вільний член -C / B відповідає координаті перетину прямої з віссю y, а коефіцієнт A / B пов’язаний з кутом нахилу прямої до осі x.
Поняття про відстані між прямою і точкою
Розібравшись з рівняннями, можна безпосередньо переходити до відповіді на питання про те, як знаходити від точки до прямої відстань. У 7 класі школи починають розглядати це питання з визначення відповідної величини.
Відстанню між прямою і точкою називається довжина перпендикулярного цієї прямої відрізка, який опущений з розглянутої точки. Нижче на малюнку зображена пряма r і точка A. Синім кольором показаний перпендикулярний прямій r відрізок. Його довжина є шуканим відстанню.
Тут зображений двовимірний випадок, тим не менше дане визначення відстані справедливо і для тривимірної задачі.
Необхідні формули
Залежно від того, в якому вигляді записано рівняння прямої і в якому просторі вирішується завдання, можна навести дві основні формули, що дають відповідь на питання про те, як знайти відстань між прямою і точкою.
Позначимо відому точку символом P2. Якщо рівняння прямої задано у векторному вигляді, то для d відстані між розглянутими об’єктами справедлива формула:
d = |[P1P2 × v]| / |v|
Тобто для визначення d слід обчислити модуль векторного добутку для направляючого вектора прямої v і вектора P1P2, початок якого лежить в довільній точці P1 на прямий, а кінець знаходиться в точці P2, потім поділити цей модуль на довжину v. Ця формула є універсальною для плоского і тривимірного простору.
Якщо завдання розглядається на площині в системі координат xy і рівняння прямої задано в загальному вигляді, тоді наступна формула знайти відстань від прямої до точки дозволяє так:
Пряма: A × x + B × y + C = 0;
Точка: P2(x2; y2; z2);
Відстань: d = |A × x2 + B × y2 + C| / √(A2 + B2)
Наведена формула є досить простий, однак її використання обмежена зазначеними вище умовами.
Координати проекції точки на пряму і відстань
Відповісти на питання про те, як знаходити відстань від точки до прямої, можна також іншим способом, що не передбачає запам’ятовування наведених формул. Цей спосіб полягає у визначенні точки на прямій, яка є проекцією вихідної точки.
Припустимо, що точка M і пряма r. Проекція на r точки M відповідає деякій точці M1. Відстань від M до r дорівнює довжині вектора MM1.
Як знайти координати M1? Дуже просто. Досить згадати, що вектор прямої v буде перпендикулярний MM1, тобто їх скалярний добуток має бути рівним нулю. Додаючи до цього умові той факт, що координати M1 повинні задовольняти рівнянню прямої r, ми отримуємо систему простих лінійних рівнянь. У результаті її рішення виходять координати проекції точки M r.
Описана в цьому пункті методика знаходження відстані від прямої до точки може використовуватися для площини і простору, однак її застосування передбачає знання векторного рівняння для прямої.
Завдання на площині
Тепер прийшов час показати, як використовувати представлений математичний апарат для вирішення реальних завдань. Припустимо, що на площині задана точка M(-4; 5). Необхідно знайти відстань від точки М до прямої, яка описується рівнянням загального виду:
y = 3 × x + 6
Рекомендується відразу перевірити, чи належить М цієї прямої, оскільки в такому випадку шукану відстань дорівнюватиме нулю. Підставляємо координати:
3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5
Тобто M не лежить на прямій.
Оскільки рівняння прямої задано не в загальному вигляді, наведемо його до такого, щоб мати можливість скористатися відповідною формулою маємо:
y = 3 × x + 6 =>
3 × x – y + 6 = 0
Тепер можна підставляти відомі числа в формулу для d:
d = |A × x2 + B × y2 + C| / √(A2+B2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(32+(-1)2) = 11 / √10 ≈ 3,48
Завдання в просторі
Тепер розглянемо випадок в просторі. Нехай пряма описується наступним рівнянням:
(x; y; z) = (1; -1 ; 0 ) + α × (3; -2; 1)
Чому дорівнює відстань від неї до точки M(0; 2; -3)?
Так само, як і в попередньому випадку, перевіримо належність M заданої прямої. Для цього підставимо координати в рівняння і перепишемо його у явному вигляді:
x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;
z = -3 = α
Оскільки отримані різні параметри α, то M не лежить на цій прямій. Розрахуємо тепер відстань від неї до прямої.
Щоб скористатися формулою для d, візьмемо довільну точку на прямій, наприклад P(1; -1; 0), тоді:
PM(-1; 3; -3)
Обчислимо векторний добуток між PM і напрямним вектором прямої v. Отримуємо:
[PM*v] = [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
Тепер підставляємо модулі знайденого вектора і вектора v в формулу для d, отримуємо:
d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95
Цю відповідь можна було отримати, скориставшись описаною вище методикою, що передбачає рішення системи лінійних рівнянь. В цієї та попередньої завданнях обчислені значення відстані від прямої до точки представлені в одиницях відповідної системи координат.
