Важливі формули
Наведемо тепер основні формули, які знадобляться для вирішення задач з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом an n-й член послідовності, де n – ціле число. Різниця позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:
- Для визначення значення n-го члена підійде формула: an = (n-1)*d+a1.
- Для визначення суми перших n доданків: Sn = (an+a1)*n/2.
Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, досить запам’ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які задачі розглянутого типу. Також слід не забувати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = an – an-1.
Далі, в статті наводяться різні приклади застосування цих виразів.
Приклад №1: знаходження невідомого члена
Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.
Нехай задано послідовність 10, 8, 6, 4, …, необхідно в ній знайти п’ять членів.
З умови завдання слід, що перші 4 доданків відомі. П’яте можна визначити двома способами:
- Обчислимо для початку різниця. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члена, що стоять поруч один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = an – an-1, тоді d = a5 – a4, звідки отримуємо: a5 = a4 + d. Підставляємо відомі значення: a5 = 4 + (-2) = 2.
- Другий спосіб також вимагає знання різниці розглянутої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a1 = 10, скористаємося формулою для n числа послідовності. Маємо: an = (n – 1) * d + a1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2*n. Підставляючи в останній вираз n = 5, отримуємо: a5 = 12-2 * 5 = 2.
Як видно, обидва способи рішення призвели до одного і того ж результату. Зазначимо, що в цьому прикладі різниця d прогресії є від’ємною величиною. Такі послідовності називаються зменшувальними, так як кожен наступний член не менше попереднього.
