Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий ряд чисел: 3, 7, 11, 15, …, потрібно знайти, чому дорівнює сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший з них передбачає знаходження невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків трохи, то такий спосіб не є досить трудомістким. Тим не менш пропонується вирішити цю задачу другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми алгебраїчної прогресії між членами m і n, де n > m – цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- Sm = m * (am + a1) / 2.
- Sn = n * (an + a1) / 2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає в себе першу. Останнє міркування означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член am (у разі взяття різниці він вираховується із суми Sn), то отримаємо необхідний відповідь на завдання. Маємо: Smn = Sn – Sm + am =n * (a1 + an) / 2 – m *(a1 + am)/2 + am = a1 * (n – m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 – m/2). В цей вираз необхідно підставити формули для an am. Тоді отримаємо: Smn = a1 * (n – m) / 2 + n * (a1 + (n – 1) * d) / 2 + (a1 + (m – 1) * d) * (1 – m / 2) = a1 * (n – m + 1) + d * n * (n – 1) / 2 + d *(3 * m – m2 – 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, тим не менш сума Smn залежить тільки від n, m, a1 і d. У нашому випадку a1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа, отримаємо: Smn = 301.
