Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії з рішенням. У всіх попередніх завданнях було відомо перше число алгебраїчної прогресії. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дано два числа, де a15 = 50 і a43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися до цього часу, передбачають знання a1 і d. В умові задачі про цих числах нічого невідомо. Тим не менш випишемо вирази для кожного члена, про яку є інформація: a15 = a1 + 14 * d і a43 = a1 + 42 * d. Отримали два рівняння, в яких 2 невідомі величини (a1 і d). Це означає, що задача зводиться до розв’язання системи лінійних рівнянь.
Зазначену систему найпростіше вирішити, якщо виразити в кожному рівнянні a1, а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a1 = a15 – 14 * d = 50 – 14 * d; друге рівняння: a1 = a43 – 42 * d = 37 – 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 – 14 * d = 37 – 42 * d, звідки різниця d = (37 – 50) / (42 – 14) = – 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким з 2 наведених вище виразів для a1. Наприклад, першим: a1 = 50 – 14 * d = 50 – 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити 43 член прогресії, який задано в умові. Отримаємо: a43 = a1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов’язана з тим, що при обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
