Математика бере свої витоки з часів Античності. Завдяки ній архітектура, будівництво і військову справу дали новий виток розвитку, досягнення, які були отримані за допомогою математики, привели до руху прогресу. І донині математика залишається головною наукою, яка зустрічається у всіх інших галузях.
Щоб бути освіченими, діти з першого класу починають поступово вливатись в цю середу. Дуже важливо розбиратися в математиці, так як вона в тій чи іншій мірі, зустрічається кожній людині протягом усього його життя. У цій статті буде розібраний один з ключових елементів – знаходження і застосування похідних. Не кожна людина може уявити, наскільки широко використовується це поняття. Розглянемо більш 10 застосувань похідних в певних галузях або науках.
Застосування похідної до дослідження функції
Похідна – це така границя відношення приросту функції до збільшенню аргументу, коли показник аргументу прямує до нуля. Похідна – незамінна річ при дослідженні функції. Наприклад, за допомогою неї можна визначити зростання і спадання останньої, екстремуми, опуклості і угнутості. Диференціальні обчислення входять в обов’язкову програму навчання студентів 1 і 2 курсу математичних вузів.
Область визначення і нулі функції
Перший етап будь-якого дослідження графіка починається з з’ясування області визначення, у більш рідкісних випадках – значення. Область визначення задається по осі абсциси, якщо говорити іншими словами, то це числові значення на осі OX. Часто вже задана область визначення, але якщо вона не задана, то слід оцінити значення аргументу х. Припустимо, якщо при значеннях аргументу функція не має сенсу, то цей аргумент виключається з області визначення.
Нулі функції знаходяться простим способом: функцію f(x) слід приравнивнять до нуля і вирішити отримане рівняння відносно однієї змінної x. Отримані корені рівняння є нулями функції, тобто в цих x функція дорівнює 0.
Зростання і спадання
Застосування похідної для дослідження функцій на монотонність може розглядатися з двох позицій. Монотонна функція – це категорія, яка має тільки позитивні значення похідної, або тільки негативні. Простими словами – функція зростає або тільки убуває на всьому досліджуваному проміжку:
- Параметр зростання. Функція f(x) буде зростати, якщо похідна f`(x) більше нуля.
- Параметр убування. Функція f(x) буде спадати, якщо похідна f`(x) менше нуля.
Дотична і кутовий коефіцієнт
Застосування похідної до дослідження функції визначається ще і дотичної (прямої, спрямованої під кутом) до графіка функції в даній точці. Дотична в точці (x0) – пряма, яка проходить через точку і належить функції, координати якої (x0, f(x0)), і має кутовий коефіцієнт f`(x0).
y = f(x0) + f`(x0)(x – x0) – рівняння дотичної до даної точки графіка функції.
Геометричний зміст похідної: похідна функції f(x) дорівнює кутовому коефіцієнту утвореної дотичної до графіка цієї функції в даній точці x. Кутовий коефіцієнт, в свою чергу, дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі ОХ (абсцис) у позитивному напрямку. Це наслідок є основоположним до застосування похідної до графіка функції.
Точки екстремуму
Застосування похідної до дослідження включає в себе знаходження точок максимуму і мінімуму.
Для того щоб знайти і визначити точки мінімуму і максимуму, необхідно:
- Знайти похідну функції f(x).
- Прирівняти отримане рівняння до нуля.
- Знайти корені рівняння.
- Визначити точки максимуму і мінімуму.
Щоб знайти екстремуми функції:
- Відшукати точки мінімуму і максимуму за способом вище.
- Підставити ці точки в початкове рівняння і вирахувати унаиб. і унаим.
Точка максимуму функції – це найбільше значення функції f(x) на проміжку, іншими словами хнаиб.
Точка мінімуму функції – це найменше значення функції f(x) на проміжку, іншими словами хнаим.
Точки екстремуму – те ж саме, що і точки максимуму і мінімуму, а екстремум функції (унаиб. і унаим) – значення функцій, які відповідають точкам екстремуму.
Опуклості і угнутості
Визначити випуклість і увігнутість можна, вдаючись до застосування похідної для побудови графіків:
- Функція f(x), досліджувана на проміжку (a, b), є увігнутою, якщо функція розташована нижче всіх своїх дотичних, що знаходяться всередині цього інтервалу.
- Функція f(x), досліджувана на проміжку (a, b), є опуклою, якщо функція розташована вище всіх своїх дотичних, що знаходяться всередині цього інтервалу.
Крапка, яка розділяє випуклість і увігнутість, називається точкою перегину функції.
Щоб знайти точки перегину:
- Знайти критичні точки другого роду (другу похідну).
- Точками перегину є ті критичні точки, які розділяють два протилежних знака.
- Обчислення значень функції в точках перегину функції.
Приватні похідні
Застосування похідних такого типу є в задачах, де використовується більше однієї невідомої змінної. Найчастіше такі похідні зустрічаються при побудові графіка функції, якщо бути точніше, то поверхні в просторі, де замість двох осей – три, отже, три величини (дві змінні і одна постійна).
Основне правило при обчисленні приватних похідних – вибираємо одну змінну, а решта розглядаємо як постійні. Отже, при обчисленні приватної похідною постійна величина стає як-ніби числовим значенням (у багатьох таблицях похідних вони позначаються як C = const). Сенс такої похідної – це швидкість зміни функції z = f(x, y) по осі OX і OY, тобто характеризує крутизну западин і опуклостей побудованої поверхні.
Похідна у фізиці
Застосування похідної в фізиці має широке поширення і значення. Фізичний зміст: похідна від шляху за часом – швидкість, а прискорення – є похідна від швидкості за часом. З фізичного сенсу можна провести безліч відгалужень в різні розділи фізики, при цьому повністю зберігаючи зміст похідної.
З допомогою застосування похідної знаходяться такі величини:
- Швидкість в кінематиці, де обчислюється похідна від пройденого шляху. Якщо знаходиться друга похідна від шляху або перша похідна від швидкості, то знаходиться прискорення тіла. Крім цього, можливе знаходження миттєвої швидкості матеріальної точки, однак для цього необхідно знати приріст ∆t ∆r.
- В електродинаміці: обчислення миттєвої сили змінного струму, а також ЕРС електромагнітної індукції. Обчислюючи похідну можна знайти максимальну потужність. Похідна від кількості електричного заряду – сила струму в провіднику.
Похідна в хімії та біології
Хімія: похідна використовується для визначення швидкості протікання хімічної реакції. Хімічний зміст похідної: функція p = p(t), у даному випадку p – кількість речовини, яка вступає в хімічну реакцію у часі t. ∆t – приріст часу, ∆p – приріст кількості речовини. Межа відносини ∆p до ∆t, при якому ∆t прагне до нуля, називається швидкістю протікання хімічної реакції. Середнє значення хімічної реакції – відношення ∆p/∆t. При визначенні швидкості необхідно точно знати всі необхідні параметри, умови, знати агрегатний стан речовини і середу протікання. Це досить великий аспект в хімії, який широко застосовується в різних галузях діяльності людини.
Біологія: поняття похідної використовують при обчисленні середньої швидкості розмноження. Біологічний сенс: маємо функцію y = x(t). ∆t – приріст часу. Тоді з допомогою деяких перетворень отримуємо функцію y`= P(t) = x`(t) – активність життєдіяльності популяції часу t (середня швидкість розмноження). Таке застосування похідної дозволяє вести статистику, відстежувати темпи розмноження і так далі.
Похідна в географії та економіки
Похідна дозволяє географам вирішувати такі задачі, як знаходження чисельності населення, обчислювати значення в сейсмографии, розрахувати радіоактивність ядерно-геофізичних показників, обчислити інтерполяцію.
В економіці важливу частину розрахунків займає диференціальне числення та обчислення похідної. В першу чергу це дозволяє визначити межі необхідних економічних величин. Наприклад, найбільшу та найменшу продуктивність праці, витрати, прибуток. В основному ці величини розраховуються за графіками функцій, де знаходять екстремуми, визначають монотонність функції на потрібній ділянці.
Висновок
Роль даного диференціального числення задіяна, як було зазначено у статті, в різних наукових структурах. Застосування похідних функцій – важливий елемент у практичній частині науки і виробництва. Не дарма нас у старшій школі та університеті вчили будувати складні графіки, досліджувати і працювати над функціями. Як бачимо, без похідних і диференціальних обчислень неможливо було б розрахувати життєво важливі показники і величини. Людство навчилося моделювати різні процеси і досліджувати їх, вирішувати складні математичні задачі. Дійсно, математика – цариця всіх наук, тому що ця наука лежить в основі всіх інших природничих і технічних дисциплін.
