Опуклості і угнутості
Визначити випуклість і увігнутість можна, вдаючись до застосування похідної для побудови графіків:
- Функція f(x), досліджувана на проміжку (a, b), є увігнутою, якщо функція розташована нижче всіх своїх дотичних, що знаходяться всередині цього інтервалу.
- Функція f(x), досліджувана на проміжку (a, b), є опуклою, якщо функція розташована вище всіх своїх дотичних, що знаходяться всередині цього інтервалу.
Крапка, яка розділяє випуклість і увігнутість, називається точкою перегину функції.
Щоб знайти точки перегину:
- Знайти критичні точки другого роду (другу похідну).
- Точками перегину є ті критичні точки, які розділяють два протилежних знака.
- Обчислення значень функції в точках перегину функції.
Приватні похідні
Застосування похідних такого типу є в задачах, де використовується більше однієї невідомої змінної. Найчастіше такі похідні зустрічаються при побудові графіка функції, якщо бути точніше, то поверхні в просторі, де замість двох осей – три, отже, три величини (дві змінні і одна постійна).
Основне правило при обчисленні приватних похідних – вибираємо одну змінну, а решта розглядаємо як постійні. Отже, при обчисленні приватної похідною постійна величина стає як-ніби числовим значенням (у багатьох таблицях похідних вони позначаються як C = const). Сенс такої похідної – це швидкість зміни функції z = f(x, y) по осі OX і OY, тобто характеризує крутизну западин і опуклостей побудованої поверхні.
