У шкільному курсі стереометрії однією з найпростіших фігур, яка має не нульові розміри уздовж трьох просторових осей, є чотирикутна призма. Розглянемо у статті, що це за фігура, з яких елементів вона складається, а також як можна розрахувати площу її поверхні та об’єм.
Поняття про призмі
В геометрії призмою вважають просторову фігуру, яка утворена двома однаковими підставами і бічними поверхнями, які з’єднують сторони цих підстав. Відзначимо, що обидва підстави переходять один в одного за допомогою операції паралельного перенесення на деякий вектор. Таке завдання призми призводить до того, що всі її бічні сторони завжди є параллелограммами.
Кількість сторін підстави може бути довільним, починаючи від трьох. При прагненні цього числа до безконечності, призма плавно переходить в циліндр, оскільки її основа стає колом, а бічні паралелограми, з’єднуючись, утворюють циліндричну поверхню.
Як і будь полиэдр, призма характеризується сторонами (площини, які обмежують фігуру), ребрами (відрізки, по яких перетинаються дві будь-які сторони) і вершинами (точки зустрічі трьох сторін, для призми дві з них є боковими, а третя – підставою). Кількості названих трьох елементів фігури зв’язані між собою наступним виразом:
Р = З + В – 2
Тут Р, С і В – це число ребер, сторін і вершин, відповідно. Цей вираз є математичним записом теореми Ейлера.
Вище наведений малюнок, де показано дві призми. В основі однієї з них (A) лежить правильний шестикутник, і сторони бічні перпендикулярні підстав. Малюнок B демонструє іншу призму. Її бічні сторони вже не перпендикулярні підстав, а підстава являє собою правильний п’ятикутник.
Що таке чотирикутна призма?
Як зрозуміло з опису вище, тип призми в першу чергу визначається видом багатокутника, який утворює основу (обидва підстави однакові, тому можна говорити про одне з них). Якщо цим гратки є паралелограм, то ми отримуємо чотирикутну призму. Таким чином, всі сторони цього виду призми є параллелограммами. Чотирикутна призма має власну назву – паралелепіпед.
Кількість сторін паралелепіпеда дорівнює шести, причому кожна сторона має аналогічну паралельну їй. Оскільки основи паралелепіпеда – це дві сторони, то решта чотири є боковими.
Кількість вершин паралелепіпеда дорівнює восьми, в чому легко переконатися, якщо згадати, що вершини призми утворюються тільки на вершинах базових багатокутників (4х2=8). Застосовуючи теорему Ейлера, отримуємо число ребер:
Р = З + В – 2 = 6 + 8 – 2 = 12
З 12-ти ребер, тільки 4 утворені самостійно бічними сторонами. Решта 8 лежать у площинах підстав фігури.
Далі в статті мова піде тільки про чотирикутних призмах.
Види паралелепіпедів
Перший тип класифікації полягає в особливості паралелограма, що лежить в основі. Він може бути наступного виду:
- звичайний, у якого кути не рівні 90o;
- прямокутник;
- квадрат – правильний чотирикутник.
Другий тип класифікації полягає у вугіллі, при якому бічна сторона перетинає основу. Тут можливо два різних випадки:
- цей кут не є прямим, тоді призму називають косокутної або похилої;
- кут дорівнює 90 o, тоді така призма є прямокутною або просто прямий.
Третій тип класифікації пов’язаний з висотою призми. Якщо призма є прямокутною, і в основі лежить або квадрат або прямокутник, тоді її називають прямокутним параллелепипедом. Якщо ж у підставі знаходиться квадрат, призма є прямокутною, а її висота дорівнює довжині сторони квадрата, то ми отримуємо всім відому фігуру куб.
Поверхня призми та її площу
Сукупність всіх точок, які лежать на двох підставах призми (параллелограммах) і на її бічних сторонах (чотири паралелограма), утворюють поверхню фігури. Площа цієї поверхні може бути обчислена, якщо розрахувати площа підстави і цю величину для бічної поверхні. Тоді їх сума дасть шукане значення. Математично це записується так:
S = 2*So + Sb
Тут So і Sb – площа основи і бічної поверхні, відповідно. Цифра 2 перед So з’являється на увазі того, що підстав два.
Зазначимо, що записана формула справедлива для будь-якої призми, а не тільки для площі чотирикутної призми.
Корисно нагадати, що площа паралелограма Sp обчислюється за формулою:
Sp = a*h
Де символи a і h позначають довжину однієї з його сторін і висоту, проведену до цієї сторони, відповідно.
Площа прямокутної призми з квадратним підставою
У правильної чотирикутної призми підстава являє собою квадрат. Позначимо для визначеності його бік буквою a. Щоб розрахувати площа правильної чотирикутної призми, слід знати її висоту. Відповідно до визначення цієї величини, вона дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з однієї підстави на інше, тобто дорівнює відстані між ними. Позначимо її літерою h. Оскільки всі бічні грані перпендикулярні підстав для розглянутого типу призми, то висота правильної чотирикутної призми дорівнює довжині її бічного ребра.
У загальній формулі для площі поверхні призми стоїть два доданків. Площа підстави в даному випадку розрахувати просто, вона дорівнює:
So = a2
Щоб обчислити площу бічної поверхні, міркуємо таким чином: ця поверхня утворена 4-ма однаковими прямокутниками. Причому сторони кожного з них дорівнюють a і h. Це означає, що площа Sb буде дорівнює:
Sb = 4*a*h
Зауважимо, що твір 4*a – це периметр квадратного підстави. Якщо узагальнити цей вираз на випадок довільного підстави, тоді для прямокутної призми бічну поверхню можна розрахувати так:
Sb = Po*h
Де Po – периметр основи.
Повертаючись до задачі розрахунку площі правильної чотирикутної призми, можна записати підсумкову формулу:
S = 2*So + Sb = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)
Площа косоугольного паралелепіпеда
Обчислити її дещо складніше, ніж для прямокутного. У цьому випадку площа підстави чотирикутної призми обчислюється за тією ж формулою, що і для паралелограма. Зміни стосуються способу визначення площі бічної поверхні.
Для цього використовується та ж формула через периметр, що наведена у пункті вище. Тільки тепер у ній з’являться дещо інші множники. Загальна формула для Sb у разі косокутної призми має вигляд:
Sb = Psr*c
Тут – довжина бічного ребра фігури. Величина Psr є периметром прямокутного зрізу. Будується цей середовищ наступним чином: необхідно перетнути площиною всі бічні грані таким чином, щоб вона була перпендикулярна всім їм. Утворений прямокутник і буде шуканим зрізом.
На малюнку вище наведено приклад косоугольного паралелепіпеда. Заштрихованное його перетин з бічними сторонами утворює прямі кути. Периметр перерізу дорівнює Psr. Він утворений чотирма висотами бічних паралелограмів. Для цієї чотирикутної призми площа бічної поверхні розраховується за вказаною вище формулою.
Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Діагональ паралелепіпеда – це відрізок, який сполучає дві вершини, що не мають загальних сторін, які їх утворюють. У будь чотирикутної призми діагоналей всього чотири. Для прямокутного паралелепіпеда, на підставі якого розташований прямокутник, довжини всіх діагоналей дорівнюють один одному.
Нижче на малюнку приведена відповідна фігура. Червоний відрізок є її діагоналлю.
Розрахувати її довжину дуже просто, якщо згадати про теорему Піфагора. Кожен школяр може отримати шукану формулу. Вона має наступну форму:
D = √(A2 + B2 + C2)
Тут D – довжина діагоналі. Інші символи – це довжини сторін паралелепіпеда.
Багато плутають діагональ паралелепіпеда з діагоналями його сторін. Нижче приводиться малюнок, де кольоровими смужками зображені діагоналі сторін фігури.
Довжина кожної з них також визначається по теоремі Піфагора і дорівнює квадратному кореню з суми квадратів відповідних довжин сторін.
Об’єм призми
Крім площі правильної чотирикутної призми або інших видів призм, для розв’язування деяких геометричних задач слід знати та їх обсяг. Ця величина для абсолютно будь призми обчислюється за наступною формулою:
V = So*h
Якщо призма є прямокутною, тоді достатньо обчислити площа її підстави і помножити його на довжину ребра бічної сторони, щоб отримати обсяг фігури.
Якщо призма є правильної чотирикутної, тоді її обсяг буде дорівнює:
V = a2 *h.
Легко бачити, що ця формула перетвориться в вираз для об’єму куба, якщо довжина бічного ребра h дорівнює стороні підстави a.
Завдання з прямокутним параллелепипедом
Для закріплення вивченого матеріалу розв’яжемо наступну задачу: є прямокутний паралелепіпед, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 див. Необхідно розрахувати площу його поверхні, довжину діагоналі і обсяг.
Для визначеності будемо вважати, що підставою фігури є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 див. Тоді його площа дорівнює 12 см2, а період становить 14 див. Використовуючи формулу для площі поверхні призми, отримуємо:
S = 2*So + Sb = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 см2
Для визначення довжини діагоналі і об’єму фігури можна безпосередньо скористатися наведеними вище виразами:
D = √(32+42+52) = 7,071 см;
V = 3*4*5 = 60 см3.
Завдання з косоугольным параллелепипедом
Нижче на малюнку зображена косоугольная призма. Її сторони дорівнюють: a=10 см, b = 8 см, с = 12 див. Необхідно знайти площу поверхні цієї фігури.
Спочатку визначимо площу основи. З малюнка видно, що гострий кут дорівнює 50o. Тоді його площа дорівнює:
So = h*a = sin(50o)*b*a
Для визначення площі бічної поверхні, слід знайти периметр заштрихованого прямокутника. Сторони цього прямокутника дорівнюють a*sin(45o) і b*sin(60o). Тоді периметр цього прямокутника дорівнює:
Psr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))
Повна площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює:
S = 2*So + Sb = 2*(sin(50o)*b*a + a*c*sin(45o) + b*c*sin(60o))
Підставляємо дані з умови задачі для довжин сторін фігури, отримуємо відповідь:
S = 458,5496 см3
З рішення цієї задачі видно, що для визначення площ косокутних фігур використовуються тригонометричні функції.
