Всі просторові фігури, які вивчає спеціальний розділ геометрії – стереометрія, можна відповідно до їх формі розділити на два типу: многогранники (полиэдры) і фігури, утворені гладкими поверхнями. Про одну з постатей другого типу піде мова в статті. Ми популярно відповімо на запитання “що таке конус”.
Визначення фігури
Припустимо, що є деяка плоска замкнута крива, наприклад коло або еліпс. У просторі виберемо деяку точку, яка не належить площині вказаної кривої. Тепер з’єднаємо її з кожної точки на кривій за допомогою прямих відрізків. Отримана фігура дає відповідь на питання про те, що таке конус. На фото нижче показано три конуса, виготовлені з паперу.
Вихідна замкнута крива називається директрисою або направляючої фігури. Фіксована точка в просторі, згадана вище, називається вершиною конуса. Прямі відрізки, що сполучають вершину з точками на директрисі, отримали назву генератрис, або утворюють.
Розглянута фігура утворює деяку поверхню, тому об’ємом не має. Якщо ж усередині цю фігуру заповнити яким-небудь речовиною, то у неї з’явиться деякий об’єм. Отримане тверде тіло також називається конусом.
Елементи конуса
Під елементами фігури розуміють геометричні об’єкти, з яких вона складається. Знаючи, що таке конус, можна сказати, що основними його елементами є такі:
- Підстава – плоска фігура, обмежена директрисою. Наприклад, це може бути коло.
- Бічна поверхня. Вона також називається конічної і утворена сукупністю точок всіх генератрис.
- Вершина – точка, яка не належить основи, в якій перетинаються всі генератрисы.
Конус від поліедрів (багатогранників) відрізняє те, що він не має граней і ребер, оскільки утворений гладкою бічній конічною поверхнею. З точки зору математики, конус – це піраміда з нескінченним числом сторін.
Види конуса
Ми дізналися, що таке конус. Тепер перейдемо до розгляду питання про те, які види фігур бувають.
Залежно від кривої, що знаходиться в основі, говорять про конусі круглому, еліптичному, гиперболическом, параболічному і так далі. Крім того, фігура може бути прямою і похилою. Щоб зрозуміти різницю між ними, слід познайомитися з поняттям висоти.
Висота конуса – це довжина відрізка, який перпендикулярно з вершини фігури опущений до площини її основи. Якщо висота перетинає основу в геометричному центрі (центр кола або еліпса), то конус називається прямим. В іншому випадку говорять про постать похилій. Малюнок нижче демонструє два конуса. Лівий є прямим, правий – похилим.
У більшості геометричних завдань розглядають прямий конус з круглим підставою. Далі в статті дамо детальну характеристику цій фігурі.
Як можна отримати цілий прямий конус?
Вище було дано визначення конуса і один із способів його геометричного побудови. Оскільки круглий прямий конус – це тіло обертання, то отримати його можна таким простим способом: візьмемо довільний трикутник з прямим кутом. Припустимо, що два катета трикутника дорівнюють a і b. Поставимо трикутник на один з катетів, наприклад a. І будемо його обертати навколо другого катета b. Гіпотенуза трикутника при цьому опише конічну поверхню.
В результаті описаного способу отримання круглого конуса утворюється фігура, що має радіус основи і висоту b. Катет b є частиною осі конуса, яка проходить через його вершину і центр основи. Гіпотенуза вихідного трикутника буде генератрисой фігури.
Схема вище показує, як можна отримати конус, обертаючи прямокутний трикутник навколо одного з катетів.
Лінійні характеристики круглого прямого конуса
Фігура утворена навколо деякого радіуса r і конічною поверхнею. Нехай висота конуса дорівнює h. Зазначені дві лінійні характеристики є основними. Їх знання дозволяє обчислити параметри фігури, наприклад, довжину його генератрис, площа поверхні та об’єм.
Оскільки розглянута фігура є прямою, то довжини всіх його генератрис рівні між собою. Якщо позначити їх довжину буквою d, тоді формула для обчислення буде мати вигляд:
d = √(h2 + r2).
Неважко здогадатися, звідки взялася ця формула. Вона є результатом застосування теореми Піфагора до відповідного прямокутному трикутнику. Зазначимо, що генератриса конуса завжди більший за радіус його основи, незалежно від значення величини h.
Цей вираз дозволяє по двом відомим лінійних величин визначити третю. Наприклад, якщо відомі d і h, тоді радіус кола на підставі буде дорівнює:
r = √(d2 – h2).
Поверхня і об’єм
Як було зазначено, площа поверхні фігури дорівнює сумі площ її основи і бічної поверхні. Формула для площі підстави збігається з такою для кола. Що стосується бічній поверхні, якщо уявити її у вигляді розгортки, то можна побачити, що вона являє сектор кола радіусом d. Тут d – довжина генератрисы. Розгортка конуса показана нижче.
Нехай висота конуса дорівнює h, а його радіус основи – r, тоді для площі поверхні розглянутої фігури справедливо наступне рівність:
S = pi*r2 + pi*r*√(r2 + h2).
Тут перший доданок відображає площа підстави, другий доданок – площа конічної поверхні. Можна помітити, що підкореневий вираз відповідає довжині генератрисы d. Формула для площі конічної поверхні виходить, якщо розглянути параметри круглого сектора, показаного на розгортці вище. Зауважимо, що довжина дуги цього сектора дорівнює директрисі підстави фігури.
Обсяг конуса довільного типу розраховується за наступною формулою:
V = 1/3*h*So.
Тут символом So позначена площа підстави. Зауважимо, що аналогічна формула і у об’єму піраміди. Це збіг не є випадковим, оскільки збільшення числа граней піраміди до нескінченності переводить її в конус.
Записана формула для випадку прямого круглого конуса набуває конкретний вид:
V = pi/3*h*r2 .
Тут множник pi*r2 площею підстави (кола).
Таким чином, обсяг прямого конуса, підставою якого є коло, дорівнює однієї третини обсягу циліндра, що має той же радіус й ту ж висоту.
