Базовими геометричними елементами є точка, пряма та площина. Вони називаються так тому, що з них можна побудувати багато об’єкти, наприклад, такі як піраміда або призма. Щоб зрозуміти властивості цих фігур, важливо знати взаємне розміщення у просторі прямих і площин. Розглянемо докладніше це питання в статті.
Визначення та опис точки, прямої і площини
Точкою в геометрії називається 0-мірний об’єкт, єдиною характеристикою якого є його координати. Останні являють собою набір чисел, прив’язаний до конкретної системи. Наприклад, на площині він складається з двох елементів, у тривимірному просторі – з трьох.
Пряма – це одновимірний об’єкт, який володіє певним напрямком. Якщо з’єднати будь-які дві її точки, то вийде вектор, який характеризує її. Для опису прямих використовують декілька типів рівнянь, які з допомогою нескладних математичних операцій можуть бути переведені один в одного. Тут наведемо лише векторне, яке часто застосовується для аналізу взаємного розташування в просторі прямих. Воно для тривимірного випадку приймає форму:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)
Елементи з нульовими індексами відповідають деякій точці, яка є частиною прямої. Координати, які множаться на параметр α (альфа) описують її напрямний вектор, вздовж якого вона проходить. Підставляючи довільні числа α можна знайти всі точки, які утворюють пряму в просторі.
Очевидно, що для векторного рівняння в двовимірному просторі необхідно використовувати лише дві координати точок і векторів.
Площина є сукупністю точок. Утворені на них вектора перпендикулярні деякого напрямку, що задається нормальним до площини вектором. Все це можна описати кількома способами. Тим не менш, для розв’язання задач на визначення взаємного розташування площини і прямої зручно користуватися рівнянням загального виду. Воно записано нижче:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Зручність цієї форми запису полягає в тому, що коефіцієнти A, B, C є координатами перпендикулярного вектора n до площини.
При вирішенні завдань важливо враховувати, в якому просторі вирішується проблема. Так, наведений вид рівняння площини у двовимірному випадку без координати z буде відповідати рівнянню прямої.
Розташування точки і прямої
Взаємне розташування цих об’єктів не залежить від того, чи розглядаються вони на площині або у просторі. Критерії визначення постійно одні і ті ж.
Щодо прямої точка може знаходитися лише в двох можливих положеннях:
- лежати на ній;
- або не належати їй.
Визначити варіант розташування в конкретній задачі досить легко. Для цього слід підставити координати шуканого об’єкта в рівняння, що задає пряму. Якщо рівність буде виконуватися, значить, точка належить прямій. В іншому випадку вона не є її частиною.
Дві прямі на площині
Яке може бути взаємне розташування двох прямих на площині? Існує три різних варіанти:
- Вони перетинаються в деякій точці.
- Вони є паралельними. Тобто не перетинаються в одній точці.
- Вони збігаються один з одним. Тобто перетинаються у всіх точках.
Щоб зрозуміти, яке взаємне розташування прямих у конкретному випадку, необхідно провести деякий математичний аналіз. Нижче описуються основні ідеї, які слід використовувати при її здійсненні.
Якщо напрямні вектори прямих паралельні один одному, значить і прямі, як мінімум, будуть паралельними. Паралельність векторів доводиться, якщо один з них можна представити у вигляді іншого, помноженого на дійсне число.
Якщо напрямні вектори паралельні, і хоча б одна точка одній прямій відповідає та іншої прямої, тоді мова йде про повністю збігаються прямих.
Якщо напрямні вектори не є паралельними, то прямі перетинаються в одній точці. Знайти її координати можна за допомогою рішення системи рівнянь (ці координати повинні відповідати обом рівнянням прямих).
Приватним випадком перетину прямих є кут перетину, рівний 90o. У такому разі говорять про перпендикулярності між розглянутими об’єктами. Якщо дві прямі перпендикулярні, то скалярний добуток їх направляючих векторів буде дорівнює нулю.
Пряма і коло на площині
Оскільки даний об’єкт часто з’являється в геометричних задачах, то корисно також розглянути питання взаємного розташування кола і прямої. Можливі такі варіанти:
- Пряма не перетинає коло.
- Вона є дотичною. Тобто пряма перетинає коло в єдиній точці.
- Вона розділяє її на дві дуги. Тобто пряма перетинає коло у двох точках.
Визначити варіант розташування цих об’єктів для конкретної задачі можна з використанням відповідних рівнянь. Для кола з центром в (x0; y0) та радіусом R має вигляд:
R2 = (x-x0)2 + (y-y0)2
Визначення варіанта розташування зводиться до розв’язання квадратного рівняння.
Дві прямі в просторі
Часто виникає питання про те, яке взаємне розташування прямих у тривимірному просторі. Можливі ті ж самі варіанти, що описані в попередньому пункті, проте, до них додається ще один. Мимобіжні прямі не перетинаються, і не є паралельними. Докладніше – нижче.
Визначити, чи є розглянуті одномірні об’єкти мимобіжними, також не представляє особливої праці. В першу чергу, необхідно з’ясувати, що їх направляючі вектори не паралельні. Після цього найпростіше розрахувати відстань між прямими. Якщо воно дорівнює нулю, значить, вони перетинаються, якщо відрізняється (більше або менше) – тоді вони мимобіжні.
Розрахунок відстані здійснюється за формулою:
d = |[M1M2*v]|/|v|,
де:
- v – напрямний вектор першої прямої;
- M1M2 – вектор, побудований на довільних точках M1 і M2 першої та другої прямий відповідно.
Формулу можна безпосередньо застосувати, якщо дані векторні рівняння прямих.
Площина та пряма
В даному випадку мова йде про тривимірному просторі. Взаємне розташування площини і прямої можливо наступне:
- Пряма належить площині.
- Вони паралельні один одному.
- Пряма перетинає площину.
Визначити паралельність цих геометричних об’єктів досить просто. Для цього потрібно розрахувати скалярний добуток нормального вектора площини і направляючого вектора прямої. Рівність нулю цього твору є достатньою умовою паралельності. Якщо до того ж хоча б одна точка належить площині, отже, вся пряма лежить у ній.
Якщо скалярний добуток не дорівнює нулю, тоді висновок наступний. Пряма і площина перетинаються в одній точці. Приватним випадком є перетин під прямим кутом. Якщо направляючий вектор прямої можна представити у вигляді добутку на число вектора нормалі до площини, значить, пряма і площина перпендикулярні.
Завдання з двома прямими на площині
Нижче наведено два рівняння в загальному вигляді для прямих у двовимірному просторі:
2*x – y = 7;
-3*x + 2*y = 0.
Необхідно визначити взаємне розташування прямих.
Оскільки має місце випадок на площині, то немає необхідності наводити ці рівняння до векторному вигляді. Вирішити задачу можна спростити, якщо знайти корені системи з цих них. Маємо:
2*x – y = 7 => y = 2*x – 7;
-3*x + 2*y = 0 => -3*x + 2*(2*x – 7) = 0 =>
x = 14; y = 21.
Оскільки система має єдине рішення, то воно відповідає перетину даних прямих у точці (14; 21).
Завдання з двома прямими в просторі
Дано дві прямі, які описуються рівняннями:
r1: (x; y; z) = (1 ; -2; 0 ) + α*(2; -1; 1);
r2: (x; y; z) = (2; 2; 1) + β*(0; 3; -1).
Яке взаємне розташування прямих у просторі?
Можна помітити, що направляючі вектори паралельними не є ніяке значення параметра β не здатне дати направляючий вектор r1). Тобто прямі або перетинаються, або є мимобіжними.
Обчислимо відстань між ними. Для цього на r1 візьмемо точку M1(1; -2; 0), а на r2 – точку M2(2; 2; 1). Тоді вектор, який сполучає їх, дорівнює:
M1M2 = (1; 4; 1).
Його векторне твір з напрямним вектором для r1 дорівнює:
[(1; 4; 1)*(2; -1; 1)] = (5; 1; -9).
Оскільки довжина цього вектора відмінна від нуля, отже, відстань між прямими буде більше нуля. Останній факт свідчить, що вони не мають спільних точок і є мимобіжними.
