Векторне рівняння
Зрозуміло, що всі наведені типи рівнянь для розглянутого геометричного елемента пов’язані між собою. Тим не менш векторне рівняння є базовим для всіх них, оскільки воно безпосередньо випливає з визначення прямої. Розглянемо, як воно вводиться в геометрію.
Припустимо, дана точка в просторі P(x0; y0; z0). Відомо, що ця точка належить прямій. Скільки прямих можна провести через неї? Нескінченна безліч. Тому для того, щоб можна було провести єдину пряму, необхідно задати напрям останньої. Напрямок, як відомо, визначається вектором. Позначимо його v(a; b; c), де символи в дужках – це його координати. Для кожної точки Q(x; y; z), яка знаходиться на даній прямій, можна записати рівність:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α × (a; b; c)
Тут символ α є параметром, що приймають абсолютно будь-яке дійсне значення (множення вектора на число може змінити тільки його модуль або напрям на протилежне). Ця рівність називається векторним рівнянням для прямої у тривимірному просторі. Змінюючи параметр α, ми отримуємо всі точки (x; y; z), які утворюють цю пряму.
Стоїть в рівнянні вектор v(a; b; c) називається направляючим. Пряма не має конкретного напрямку, а її довжина є нескінченною. Ці факти означають, що будь-який вектор, отриманий з v за допомогою множення на дійсне число, також буде напрямних для прямої.
Що стосується точки P(x0; y0; z0), то замість неї рівняння можна підставити довільну точку, яка лежить на прямій, і остання при цьому не зміниться.
Малюнок вище демонструє пряму (синя лінія), яка задана в просторі через напрямний вектор (червоний спрямований відрізок).
Не представляє ніякої праці отримати таку рівність для двовимірного випадку. Використовуючи аналогічні міркування приходимо до виразу:
(x; y) = (x0; y0) + α × (a; b)
Бачимо, що воно повністю таке ж, як і попередній, тільки використовуються дві координати замість трьох для задання точок і векторів.
