Многогранники привертали увагу математиків і науковців навіть у давні часи. Єгиптяни побудували піраміди. А греки вивчали «правильні многогранники». Їх іноді називають Платонівськими твердими тілами. «Традиційні многогранники» складаються з плоских граней, прямих ребер і вершин. Але головним питанням завжди було те, які правила повинні виконувати ці окремі частини, а також те, які додаткові глобальні умови необхідно виконати, щоб об’єкт був кваліфікований як многогранник. Відповідь на це питання буде представлений в статті.
Проблеми у визначенні
З чого складається ця фігура? Многогранник являє собою замкнуту суцільну форму, яка має плоскі грані і прямі ребра. Тому першою проблемою його визначення можна назвати саме сторони фігури. Не всі грані, що лежать у площинах, завжди є ознакою багатогранника. В якості прикладу візьмемо «трикутний циліндр». З чого він складається? Частина його поверхні трьох попарно перетинаються вертикальних площин не може вважатися багатокутниками. Причина в тому, що вона не має вершин. Поверхня такої фігури сформована на основі трьох променів, які зустрічаються в одній точці.
Ще одна проблема — площині. У випадку «трикутного циліндра» вона полягає у їх необмеженій частинах. Фігура вважається опуклою, якщо відрізок прямої, що з’єднує будь-які дві точки в множині, також знаходиться в ньому. Наведемо один з їх найважливіших властивостей. У опуклих множин їм є те, що множина точок, спільних для набору, є таким же. Існує ще один вид фігур. Це невыпуклые двовимірні многогранники, які мають або виїмки, або отвори.
Фігури, які не є многогранниками
Плоске безліч точок може бути різним (наприклад, невыпуклым) і не задовольняти звичайного визначення багатогранника. Навіть через нього воно обмежене перерізами прямих. Лінії опуклого багатогранника складаються з опуклих фігур. Однак цей підхід до визначення виключає фігуру, що йде в нескінченність. Її прикладом можуть бути три променя, які не зустрічаються в одній точці. Але при цьому вони з’єднуються з вершинами іншої фігури. Традиційно важливим для багатогранника було те, що він складається з плоских поверхонь. Але з часом поняття розширилося, що призвело до значного поліпшення розуміння вихідного «більш вузького» класу многогранників, а також появи нового, більш широкому визначенні.
Правильний
Введемо ще одне визначення. Правильний багатогранник — це той, в якому кожна грань є конгруэнтными регулярними опуклими многокутниками, а всі вершини «однакові». Це означає, що в кожній вершині є однакова кількість правильних багатокутників. Використовуйте це визначення. Так можна знайти п’ять правильних многогранників.
Перші кроки до теоремою Ейлера для многогранників
Греки знали про полігоні, який сьогодні називається пентаграмою. Цей багатокутник можна було б називати регулярним, тому що всі його сторони мають однакову довжину. Також є ще одне важливе зауваження. Кут між двома послідовними сторонами завжди один і той же. Проте він при малюванні в площині не визначає опуклого безлічі, а сторони багатогранника перетинаються один з одним. Проте, так було не завжди. Математики давно розглядали ідею «неопуклих» правильних багатогранників. Пентаграма була в їх числі. Допускалися і «зоряні багатокутники». Були виявлені кілька нових прикладів «правильних многогранників». Тепер їх називають полиэдрами Кеплера-Пуансо. Пізніше Р. С. М. Кокстер і Бранко Грюнбаум розширили правила і виявили інші «регулярні многогранники».
Полиэдральная формула
Систематичне дослідження цих фігур почалося порівняно рано в історії математики. Леонард Ейлер був першим, хто помітив, що для тривимірних опуклих багатогранників справедлива формула, що зв’язує число їх вершин, граней і ребер.
Вона виглядає так:
V + F – E = 2,
де V – число багатогранних вершин, F — число ребер многогранників, а E — число граней.
Леонард Ейлер – швейцарський математик, який вважається одним з найбільших і продуктивних учених усіх часів. Він більшу частину життя був сліпий, але втрата зору приводом послужила йому стати ще більш продуктивним. Існує кілька формул, названих на його честь, і ту, яку ми тільки що розглянули, іноді називають формулою многогранників Ейлера.
Є одне уточнення. Формула Ейлера, однак, працює тільки для многогранників, які слідують певним правилам. Вони полягають в тому, що форма не повинна мати ніяких отворів. І неприпустимо, щоб вона перетинала саму себе. Многогранник також не може складатися з двох частин, з’єднаних разом, наприклад, двох кубів з однією вершиною. Ейлер згадав про результаті свого дослідження в листі до Християну Гольдбаху в 1750 році. Пізніше він опублікував дві роботи, в яких описав, як спробував знайти доказ свого нового відкриття. Насправді існують форми, які дають іншу відповідь на V + F – E. Відповідь на суму F + V – E = Х називається эйлеровой характеристикою. У неї є ще один аспект. Деякі форми можуть навіть мати характеристику Ейлера, яка є негативною
Теорія графів
Іноді затверджується, що Декарт вивів теорему Ейлера раніше. Хоча цей вчений виявив факти про тривимірних многогранники, які дозволили б йому вивести потрібну формулу, він не зробив цього додаткового кроку. Сьогодні Эйлеру приписують «батьківство» теорії графів. Він вирішив проблему мосту Кенігсберга, використовуючи його ідеї. Але вчений не дивився на багатогранник в контексті теорії графів. Ейлер спробував дати доказ формули, заснованої на розкладанні полиэдра на більш прості частини. Ця спроба не відповідає сучасним стандартам для доказу. Хоча Ейлер не дав першого правильного обгрунтування своєї формули, не можна довести здогадки, які не були зроблені. Однак результати, що знайшли обґрунтування пізніше, дозволяють використовувати теорему Ейлера і в даний час. Перше доказ отримав математик Адріан Марі Лежандра.
Докази формули Ейлера
Ейлер спочатку сформулював полиэдральную формулу теорему про многогранники. Сьогодні її часто трактують у більш загальному контексті пов’язаних графів. Наприклад, як структури, що складаються з точок і відрізків ліній, що з’єднують їх, які знаходяться в одній частині. Огюстен Луї Коші був першою людиною, який знайшов цю важливу зв’язок. Вона і стала доказом теореми Ейлера. Він, по суті, зауважив, що граф опуклого багатогранника (або те, що сьогодні називається таким) топологічно гомеоморфен сфері, має плоский зв’язний граф. Що це таке? Плоский граф — це той, який був намальований у площині таким чином, що його ребра зустрічаються або ж перетинаються лише у вершині. В цьому і була знайдена зв’язок теореми Ейлера і графів.
Однією з ознак важливості результату є те, що Девід Епштейн зміг зібрати сімнадцять різних доказів. Існує багато варіантів обґрунтування полиэдральной формули Ейлера. В деякому сенсі найбільш очевидними доказами є методи, що використовують математичну індукцію. Результат можна довести, проводячи її за кількістю або ребер, граней або вершин графа.
Доказ Радемахера та Теплиця
Особливо привабливо наступний доказ Радемахера та Теплиця, засноване на підході Фон Штаудта. Для того щоб обґрунтувати теорему Ейлера, припустимо, що G – зв’язний граф, вбудований в площину. Якщо він має схеми, можна виключити одне ребро з кожної з них таким чином, щоб зберегти властивість, при якому той залишається зв’язаним. Існує взаємно однозначна відповідність між віддаленими частинами для переходу до пов’язаній графу без замикання і тих, які не є нескінченною гранню. Це дослідження привело до класифікації «орієнтована поверхонь» з точки зору так званої характеристики Ейлера.
Иордановая крива. Теорема
Основна теза, яка прямо чи опосередковано використовується при доказі формули многогранників теореми Ейлера для графів, залежить від Іордановою кривої. Ця ідея пов’язана з узагальненням. Вона свідчить, що будь-яка проста замкнута крива ділить площину на три множини: точки на ній, всередині і поза її. Оскільки інтерес до багатогранної формулою Ейлера розвинувся в дев’ятнадцятому столітті, було зроблено багато спроб узагальнити її. Це дослідження заклало основу для розвитку алгебраїчної топології і пов’язав її з алгеброю і теорією чисел.
Група Мебіуса
Незабаром було виявлено, що деякі поверхні можуть бути «орієнтовані» узгодженим чином лише локально, але не глобально. Відома група Мебіуса служить ілюстрацією такої поверхні. Вона була виявлена дещо раніше Іоганном Лістингом. Ця концепція включає поняття роду графа: найменшу кількість дескрипторів g. Воно повинно бути додано до поверхні сфери, і той може бути вбудований на розширену поверхню таким чином, щоб ребра зустрічалися тільки у вершинах. Виявляється, що будь-яка ориентируемая поверхню в евклідовому просторі може розглядатися як сфера з певним числом ручок.
Діаграма Ейлера
Вчений зробив ще одне відкриття, яке використовується до цих пір. Це так звана діаграма Ейлера — графічне зображення, що складається з кіл, зазвичай використовується для ілюстрації відносин між множинами або групами. Діаграми зазвичай включають кольору, які змішуються в областях, де круги перекриваються. Багатьох зображуються саме колами або овалами, хоча для них також можуть бути використовувати інші фігури. Включення представлено перекриттям еліпсів, званих эйлеровыми колами.
Вони являють множини і підмножини. Виняток становлять неперекрывающиеся кола. Діаграми Ейлера тісно пов’язані з іншим графічним зображенням. Їх часто плутають. Це графічне зображення називається діаграмами Венна. Залежно від розглянутих множин обидві версії можуть виглядають однаково. Однак на діаграм Венна накладання кола необов’язково вказують на спільність між множинами, а тільки на можливий логічний зв’язок, якщо їх мітки не перебувають у пересекающемся колі. Обидва варіанти були прийняті для викладання теорії множин у рамках нового математичного руху 1960-х років.
Теореми Ферма і Ейлера
Ейлер залишив помітний слід в математичній науці. Алгебраїчна теорія чисел збагатилася теоремою, названої в його честь. Вона також є наслідком іншого важливого відкриття. Це так звана общеалгебраическая теорема Лагранжа. Ім’я Ейлера також пов’язано з малої теореми Ферма. У ній говориться, що якщо p — просте число і a — ціле число, не яке ділиться на p, то:
ар-1 – 1 ділиться на p.
Іноді це ж відкриття носить іншу назву, найчастіше зустрічається в іноземній літературі. Звучить воно як “різдвяна теорема Ферма”. Вся справа в тому, що відкриття стало відомо завдяки листу вченого, відправленого у переддень 25 грудня 1640 року. Але саме твердження зустрічалося й раніше. Його використав інший вчений по імені Альбер Жирар. Ферма лише намагався довести свою теорію. Автор натякає в іншому своєму листі на те, що його надихнув метод нескінченного спуску. Але ніяких доказів він не навів. Пізніше до цього ж методу звернутися і Эйдер. А після нього – безліч інших відомих учених, у тому числі Лагранж, Гаусс і Минкоский.
Особливості тотожностей
Мала теорема Ферма називається також приватним випадком теорем теорії чисел, що належить Ейлера. У цій теорії функція тотожності Ейлера підраховує позитивні цілі числа до заданого цілого числа n. Вони взаємно прості по відношенню до n. Теорема Ейлера в теорії чисел записується з використанням грецької літери φ і виглядає як φ (n). Її можна формально визначити як кількість цілих чисел k в діапазоні 1 ≤ k ≤ n, для якого найбільший загальний дільник gcd (n, k) дорівнює 1. Запис φ (n) також може називатися фі-функцією Ейлера. Цілі числа k цієї форми іноді називаються тотативными. В основі теорії чисел функція тотожності Ейлера є мультиплікативної, що означає, що якщо два числа m та n взаємно прості, то φ(mn) = φ(m)φ(n). Вона також грає ключову роль у визначенні системи шифрування RSA.
Функція Ейлера була введена в 1763 році. Однак у той час математик не вибрав для її позначення якого-небудь конкретного символу. У публікації 1784 р. Ейлера вивчив цю функцію детальніше і вибрав грецьку букву π, щоб позначити її. Джеймс Сильвестр придумав термін «тоталь» для цієї функції. Тому вона також згадується як тоталь Ейлера. Тоталем φ (n) позитивного цілого n, більшої ніж 1, визначається число додатних цілих чисел, менших n, які взаємно прості до n.φ (1) визначається як 1. Функція Ейлера або функція phi (φ) є дуже важливою теоретико-числовий функцією, що має глибоке ставлення до простих чисел і так званому порядком цілих чисел.
