Доказ Радемахера та Теплиця
Особливо привабливо наступний доказ Радемахера та Теплиця, засноване на підході Фон Штаудта. Для того щоб обґрунтувати теорему Ейлера, припустимо, що G – зв’язний граф, вбудований в площину. Якщо він має схеми, можна виключити одне ребро з кожної з них таким чином, щоб зберегти властивість, при якому той залишається зв’язаним. Існує взаємно однозначна відповідність між віддаленими частинами для переходу до пов’язаній графу без замикання і тих, які не є нескінченною гранню. Це дослідження привело до класифікації «орієнтована поверхонь» з точки зору так званої характеристики Ейлера.
Иордановая крива. Теорема
Основна теза, яка прямо чи опосередковано використовується при доказі формули многогранників теореми Ейлера для графів, залежить від Іордановою кривої. Ця ідея пов’язана з узагальненням. Вона свідчить, що будь-яка проста замкнута крива ділить площину на три множини: точки на ній, всередині і поза її. Оскільки інтерес до багатогранної формулою Ейлера розвинувся в дев’ятнадцятому столітті, було зроблено багато спроб узагальнити її. Це дослідження заклало основу для розвитку алгебраїчної топології і пов’язав її з алгеброю і теорією чисел.
