Група Мебіуса
Незабаром було виявлено, що деякі поверхні можуть бути «орієнтовані» узгодженим чином лише локально, але не глобально. Відома група Мебіуса служить ілюстрацією такої поверхні. Вона була виявлена дещо раніше Іоганном Лістингом. Ця концепція включає поняття роду графа: найменшу кількість дескрипторів g. Воно повинно бути додано до поверхні сфери, і той може бути вбудований на розширену поверхню таким чином, щоб ребра зустрічалися тільки у вершинах. Виявляється, що будь-яка ориентируемая поверхню в евклідовому просторі може розглядатися як сфера з певним числом ручок.
Діаграма Ейлера
Вчений зробив ще одне відкриття, яке використовується до цих пір. Це так звана діаграма Ейлера — графічне зображення, що складається з кіл, зазвичай використовується для ілюстрації відносин між множинами або групами. Діаграми зазвичай включають кольору, які змішуються в областях, де круги перекриваються. Багатьох зображуються саме колами або овалами, хоча для них також можуть бути використовувати інші фігури. Включення представлено перекриттям еліпсів, званих эйлеровыми колами.
Вони являють множини і підмножини. Виняток становлять неперекрывающиеся кола. Діаграми Ейлера тісно пов’язані з іншим графічним зображенням. Їх часто плутають. Це графічне зображення називається діаграмами Венна. Залежно від розглянутих множин обидві версії можуть виглядають однаково. Однак на діаграм Венна накладання кола необов’язково вказують на спільність між множинами, а тільки на можливий логічний зв’язок, якщо їх мітки не перебувають у пересекающемся колі. Обидва варіанти були прийняті для викладання теорії множин у рамках нового математичного руху 1960-х років.
