Одними з цікавих завдань, які дозволяють порівняти різні об’ємні фігури, є завдання на опис однієї з них близько іншої. У цій статті розглянемо різні варіанти описаного біля піраміди і вписаного в піраміду циліндра.
Піраміда в геометрії
Перш ніж вивчати комбінації вписаного в піраміду циліндра і вписаною піраміди в циліндр, слід розглянути ці фігури з точки зору геометрії. Почнемо з піраміди.
Фігура піраміда являє собою тіло в просторі, який виходить, якщо поєднати всі вершини довільного плоского n-кутника з деякою точкою в просторі. При цьому n-кутник може бути абсолютно довільним (опуклим, увігнутим, правильним, з різною кількістю сторін n). На положення зазначеної точки накладається одне єдине умова: вона не повинна лежати в тій площині, в якій n-кутник знаходиться.
На малюнку вище показано, мабуть, найвідоміша піраміда – чотирикутна. Видно, що вершини чотирикутника, який називається підставою фігури, з’єднані з точкою, що лежить над ним. Ця точка називається вершиною піраміди.
Наведене визначення і також представлений малюнок свідчать, що будь-яка піраміда, незалежно від типу її заснування, буде включати в себе n трикутників. Всі вони з’єднуються у вершині фігури.
Перпендикулярний відрізок, проведений з вершини фігури до її основи, називається висотою. Якщо висота перетинає в геометричному центрі n-кутник, то така піраміда буде прямою. В іншому випадку має місце похила фігура.
Якщо всі сторони n-кутника рівні між собою, і фігура є прямою, то її називають правильною. Саме з правильними пірамідами зручно працювати при вивченні їх взаємного розташування з іншими об’ємними тілами в геометрії.
Циліндр в геометрії
Циліндр в загальному випадку можна отримати, якщо вздовж замкненої кривої переміщати відрізок паралельно самому собі таким чином, щоб відрізок не лежав у площині цієї кривої. Цей відрізок називається твірною циліндра, а крива, вздовж якої він переміщається, носить назву направляючої.
Якщо напрямна є колом, а твірна їй перпендикулярна, то отриманий циліндр буде називатися прямим з круглим підставою. Ця фігура відома кожному. Вона представлена на малюнку нижче.
Далі будемо розглядати лише прямий круглий циліндр.
На відміну від піраміди, циліндр не має вершин і ребер. Однак він утворений двома підставами (два однакових кола, що знаходяться в паралельних площинах) і бічний циліндричною поверхнею. Якщо подивитися на розгортку цієї фігури, то можна побачити, що вона складається з двох кіл і одного прямокутника (див. рис. нижче).
Основними характеристиками циліндра є наступні:
- радіус підстави;
- висота – відстань між підставами;
- площа основ і бічної поверхні;
- обсяг фігури.
Многокутник та окружність
Останнє питання, яке слід вивчити перед тим, як розглядати вписаного в піраміду циліндр і описаний навколо неї, пов’язаний з взаємним розташуванням правильного многокутника і кола.
Існують лише два варіанти розташування цих плоских фігур:
- опис окружністю n-кутника;
- опис n-кутником колу.
Наведемо формули, які дозволяють обчислити довжину сторони багатокутника через радіус кола. Розглянемо для прикладу тільки два перших багатокутника, тобто рівносторонній трикутник і квадрат.
Якщо окружність проходить через всі вершини n-кутника, то кажуть, що вона його описує. При відомому радіусі R довжина сторони обчислюється за формулою:
для трикутника: a = √3*R;
для квадрата: a = √2*R
Тобто сторона квадрата, вписаного в коло з радіусом R, буде трохи менше такої для рівностороннього трикутника, описаного тій же колом.
Якщо окружність стосується кожної із сторін n-кутника, то кажуть, що вона вписана в нього. У разі правильних багатокутників точка дотику фігур знаходиться точно посередині кожної сторони n-кутника. Якщо відомий радіус r кола вписаного, тоді сторона n-кутника визначиться за формулою:
для трикутника: a = 2*√3*r;
для квадрата: a = 2*r
Тобто навколо кола фіксованого радіуса можна описати трикутник з більшою довжиною сторони, ніж квадрат.
Трикутна піраміда, вписана в циліндр
Спочатку розглянемо більш простий варіант, тобто коли піраміда знаходиться всередині циліндра. Розберемо конкретний приклад з правильної трикутною пірамідою. Припустимо, що відомий радіус R циліндра і його висота h. Необхідно знайти характеристики правильної трикутної піраміди, вписаної в циліндр.
Вище вже була наведена формула для сторони рівностороннього трикутника, що знаходиться всередині кола. Довжина його сторони є довжиною підстави піраміди. Вона дорівнює:
a = √3*R
Вершина піраміди вписаною лежить точно в центрі верхнього підстави циліндра, тому висоти обох фігур рівні.
Знаючи довжину сторони основи і висоту правильної трикутної піраміди, можна розрахувати інші її характеристики. Наприклад, обсяг обчислюється за формулою:
V = √3/12*a2*h
Довжину бічного ребра ab можна розрахувати так:
ab = √(R2 + h2)
Чотирикутна піраміда, вписана в циліндр
Як і в попередньому випадку, піраміда знаходиться всередині циліндра. Тільки тепер її основа являє собою квадрат, сторона якого через радіус R циліндра обчислюється так:
a = √2*R
Висота піраміди дорівнює такої для циліндра, тобто h.
Об’єм правильної чотирикутної піраміди (вписана в циліндр), дорівнює:
V = 1/3*a2*h
Довжина бічного ребра ab становить:
ab = √(R2 + h2)
Зауважимо, що формула для довжини бічного ребра вийшла точно такою ж, як у випадку трикутної піраміди.
Циліндр вписано в фігуру
Циліндр, вписаного в піраміду, представляє більш складний випадок розташування цих фігур. Щоб розрахувати розміри піраміди по відомому радіусу і висоті циліндра, слід розібратися, як цей циліндр буде розташований всередині неї.
Припустимо, що є площина, паралельна основі піраміди. Перетнемо цією площиною бічну поверхню фігури. Утворене переріз буде представляти точно такий же багатокутник, що лежить в основі, але меншого розміру. Цей багатокутник буде описувати верхнє підставу циліндра. Нижня основа буде лежати в основі піраміди.
Щоб знайти довжину сторони багатокутника перерізу, слід скористатися функцією залежності площі перерізу від вертикальної координати z. Ця функція має вигляд:
S(z) = (hp-z)2/hp2*S0
Тут z – відстань від основи піраміди вздовж її висоти, hp – висота піраміди.
Як користуватися цією формулою для визначення параметрів описаної близько циліндра піраміди, покажемо на прикладі розв’язання задачі.
Завдання з чотирикутної пірамідою і циліндром
Відомо, що циліндр має радіус r = 5 см і висоту h = 6 див. Знайти висоту і сторону правильної чотирикутної піраміди, що описує його.
Верхнє підставу циліндра має вписуватися в квадратний зріз на висоті h = 6 см від основи піраміди. Тоді площа перерізу дорівнює:
S(6) = (hp-6)2/hp2*a2
Тут a – сторона основи піраміди. Якщо взяти квадратний корінь з S(6), то отримаємо довжину сторони квадрата перерізу. Вона повинна бути дорівнює 2*r, щоб основа циліндра могло вписатися в це перетин, тоді отримуємо:
√S(6) = (hp-6) /hp*a = 2*r = 10
Звідси отримуємо вираз:
a = 10*hp/(hp-6)
Таким чином, вписати циліндр, заданий умовою задачі, можна не в одну єдину правильну чотирикутну піраміду, а нескінченне число. Однак параметри кожної з них повинні задовольняти висловом вище, яке пов’язує висоту фігури з довжиною сторони її основи.
