Робота Шимуры і Таниямы
У 1955 році японські математики Горо Шімури і Ютака Таніяма підозрювали, що існує зв’язок між еліптичними кривими і модульними формами, двома абсолютно різними областями математики. Відома в той час, як гіпотеза Таніяма-Шімури-Вейля і (в остаточному підсумку) як теорема модульності, вона існувала сама по собі, без видимого зв’язку з останньої теореми Ферма. Вона сама по собі широко розглядалася як важлива математична теорема, але при цьому вважалася (як і теорема Ферма) неможливою для доказу. У той же час доказ великої теореми Ферма (методом ділення і застосування складних математичних формул) було здійснено лише через півстоліття.
У 1984 році Герхард Фрей помітив очевидну зв’язок між цими двома раніше не пов’язаними і невирішеними проблемами. Повне підтвердження того, що дві теореми були тісно пов’язані, було опубліковано в 1986 році Кеном Рибетом, який ґрунтувався на частковому доказі Жана-П’єра Серра, який довів всі, крім однієї частини, відомої як «гіпотеза епсилона». Простіше кажучи, ці роботи Фрея, Серра і Рібе показали, що якщо б теорема про модульності могла бути доведена, принаймні, для полустабильного класу еліптичних кривих, то й доказ великої теореми Ферма також рано чи пізно буде відкрито. Будь-яке рішення, яке може суперечити останньої теореми Ферма, може також використовуватися, щоб суперечити теоремі модульності. Тому, якщо теорема про модульності виявилася справжньою, то по визначенню не може існувати рішення, що суперечить останньої теореми Ферма, а значить вона незабаром повинна була бути доведена.
Хоча обидві теореми були складними проблемами для математики, які вважаються нерешаемыми, робота двох японців стала першим припущенням про те, як остання теорема Ферма могла б бути продовжена і доведено для всіх чисел, а не лише для деяких. Важливим для дослідників, які обрали тему дослідження, був той факт, що на відміну від останньої теореми Ферма, теорема модульності була основною активною областю досліджень, для якої було розроблено доказ, а не тільки історичну аномалію, тому час, витрачений на її роботу, могло бути виправдано з професійної точки зору. Однак загальна думка полягала в тому, що рішення гіпотези Таниямы-Шимуры виявилося недоцільним.
